Simplificar e calcule o valor das expressões:
\frac{4!+5!}{4!}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e calcular o valor da expressão \frac{4!+5!}{4!}.
Informações dadas: temos os símbolos de fatorial ! aplicados a 4 e 5.
O que é pedido: simplificar algebricamente a expressão e obter o valor numérico final.

Passo 2

O que significa fatorial: para um inteiro positivo n, \,n!\, é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Exemplos:
1! = 1,\quad 2! = 2\cdot1 = 2,\quad 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.
Então cada fatorial é um número inteiro obtido por multiplicação repetida.

Passo 3

Calculemos explicitamente \,4!\, e \,5!\, para ver a forma:
4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24,
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120.
Esses valores servem para checar o resultado numérico mais adiante.

Passo 4

Agora a simplificação algébrica: observe que \,5! = 5\cdot4!\, porque 5! = 5\cdot(4\cdot3\cdot2\cdot1)=5\cdot4!. Substituindo na expressão:
\frac{4!+5!}{4!} = \frac{4! + 5\cdot4!}{4!}.

Passo 5

Fatoramos 4! no numerador (propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição):
\frac{4! + 5\cdot4!}{4!} = \frac{(1+5)\cdot4!}{4!}.

Passo 6

Agora simplificamos cancelando 4! no numerador e denominador (desde que 4!\neq0, e de fato 4!=24\neq0):
\frac{(1+5)\cdot4!}{4!} = 1+5 = 6.
Essa é a simplificação algébrica direta.

Passo 7

Verificação numérica usando os valores do Passo 3:
\frac{4!+5!}{4!} = \frac{24+120}{24} = \frac{144}{24} = 6.
Confere com o resultado algébrico.

Resposta

6

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