Simplificar e calcule o valor das expressões:
\frac{5!}{2!}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e calcular o valor da expressão \frac{5!}{2!}.
Informação dada: a expressão a ser simplificada é \frac{5!}{2!}.
Objetivo: obter uma forma simplificada e o valor numérico.

Passo 2

Primeiro, o que é fatorial? Vou explicar devagarinho: para um inteiro não-negativo \,n, o fatorial n! é o produto de todos os inteiros positivos de 1 até n. Em fórmula:
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots 2\cdot1.
Alguns exemplos úteis:
2! = 2\cdot1 = 2,\qquad 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6,\qquad 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1.
Observação importante (útil para simplificar frações): quando você divide dois fatoriais com o numerador maior ou igual ao denominador, vários fatores se cancelam.

Passo 3

Vamos escrever explicitamente o numerador e o denominador:
5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1
2! = 2\cdot1
Substituindo na expressão:
\frac{5!}{2!}=\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1}

Passo 4

Agora simplificamos cancelando os fatores iguais no numerador e no denominador. No numerador há um fator 2\cdot1, que é exatamente o denominador 2!. Então podemos cancelar:
\frac{5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{2\cdot1}=5\cdot4\cdot3.
Explicando em palavras: dividir por 2! significa retirar os fatores 2 e 1 do produto do numerador.

Passo 5

Calculamos o produto restante passo a passo (sem pular conta):
5\cdot4 = 20,
20\cdot3 = 60.
Portanto a expressão simplificada vale 60.

Passo 6

Outra forma rápida de ver isso é usar a propriedade geral, válida quando n\ge k:
\frac{n!}{k!}=n\cdot(n-1)\cdots (k+1).
Aplicando com n=5 e k=2 obtemos 5\cdot4\cdot3, que novamente dá 60. Você já consegue aplicar essa ideia rápido na prova: basta escrever os termos de n! até parar em k+1.

Resposta

60

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