- Resolva a equação
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
Pergunta: quais os valores de
(com
) que satisfazem essa equação?
Informações importantes fornecidas: e
são fatoriais; por convenção
e, normalmente, notamos que o símbolo
é usado para inteiros não negativos (aqui o enunciado também impõe
).
Informações importantes fornecidas:
Passo 2
Propriedade básica de fatoriais: para qualquer inteiro não negativo
vale
Aplicando essa ideia duas vezes ao termo
, podemos escrever explicitamente o produto que define o fatorial e obter
Essa identidade é óbvia se você lembrar que
; então ao passar de
para
multiplicamos por
e por
.
Passo 3
Substituindo a identidade do Passo 2 na equação original, temos
Como
para
, podemos cancelar
no numerador e denominador, ficando
Passo 4
Agora desenvolvemos o produto e transformamos em uma equação quadrática:
Subtraindo
dos dois lados:
ou seja
Passo 5
Resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
As raízes são
Isso dá duas soluções:
Passo 6
Aplicando a condição do enunciado
, descartamos
. Resta
. Verificação rápida:
, portanto
satisfaz a equação.