1. Resolva a equação \frac{(x+2)!}{x!}=6, \operatorname{com} x \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{(x+2)!}{x!}=6,\qquad \text{com } x\geq 0.
Pergunta: quais os valores de x (com x\geq 0) que satisfazem essa equação?
Informações importantes fornecidas: (x+2)! e x! são fatoriais; por convenção 0!=1 e, normalmente, notamos que o símbolo ! é usado para inteiros não negativos (aqui o enunciado também impõe x\geq 0).

Passo 2

Propriedade básica de fatoriais: para qualquer inteiro não negativo n vale
(n+1)!=(n+1)\,n!.
Aplicando essa ideia duas vezes ao termo (x+2)!, podemos escrever explicitamente o produto que define o fatorial e obter
(x+2)!=(x+2)(x+1)x!.
Essa identidade é óbvia se você lembrar que k!=1\cdot2\cdots k; então ao passar de x! para (x+2)! multiplicamos por (x+1) e por (x+2).

Passo 3

Substituindo a identidade do Passo 2 na equação original, temos
\frac{(x+2)!}{x!}=\frac{(x+2)(x+1)x!}{x!}.
Como x!\neq 0 para x\geq 0, podemos cancelar x! no numerador e denominador, ficando
(x+2)(x+1)=6.

Passo 4

Agora desenvolvemos o produto e transformamos em uma equação quadrática:
(x+2)(x+1)=x^2+3x+2=6.
Subtraindo 6 dos dois lados:
x^2+3x+2-6=0,
ou seja
x^2+3x-4=0.

Passo 5

Resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. Primeiro o discriminante:
\Delta = b^2-4ac = 3^2-4\cdot1\cdot(-4)=9+16=25.
As raízes são
x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{-3\pm5}{2}.
Isso dá duas soluções:
x_1=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1,
x_2=\frac{-3-5}{2}=\frac{-8}{2}=-4.

Passo 6

Aplicando a condição do enunciado x\geq 0, descartamos x=-4. Resta x=1. Verificação rápida: (1+2)!/1!=3!/1!=6/1=6, portanto x=1 satisfaz a equação.

Resposta

x=1

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