Simplifique.
5x^2+x-6-2x-2+4x^2-4

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a soma de três frações racionais. O conteúdo principal é fatoração de polinômios, cálculo de mínimo múltiplo comum (MMC) de denominadores e soma de frações. Vamos precisar fatorar os denominadores, montar o MMC e então somar os numeradores.

Passo 2

Primeiro, fatoramos cada denominador:
O polinômio x^2+x-6 se fatora como (x+3)(x-2), e x^2-4 se fatora como (x-2)(x+2). Assim temos:
5x^2+x-6=5(x+3)(x-2), 2x-2, 4x^2-4=4(x-2)(x+2)

Passo 3

O MMC dos denominadores (x+3)(x-2), (x-2) e (x-2)(x+2) é (x-2)(x+2)(x+3). Reescrevemos cada fração sobre esse denominador comum:
5(x+3)(x-2)=5(x+2)(x-2)(x+2)(x+3),
2x-2=2(x+3)(x+2)(x-2)(x+2)(x+3),
4(x-2)(x+2)=4(x+3)(x-2)(x+2)(x+3)
Observe que o segundo termo original era subtraído, então vamos considerar sinal negativo: -2/(x-2).

Passo 4

Agora somamos as frações sobre o mesmo denominador:
5(x+2)D-2(x+3)(x+2)D+4(x+3)D=5(x+2)-2(x+3)(x+2)+4(x+3)D,
onde D=(x-2)(x+2)(x+3). Desenvolvendo o numerador:
5(x+2)=5x+10,
2(x+3)(x+2)=2(x^2+5x+6)=2x^2+10x+12,
4(x+3)=4x+12
Então o numerador fica:
5x+10-(2x^2+10x+12)+(4x+12)=-2x^2+(5x-10x+4x)+(10-12+12)=-2x^2-x+10

Passo 5

Fatoramos o numerador -2x^2-x+10. Escrevendo -2x^2-x+10)=-(2x^2+x-10) e reconhecendo que 2x^2+x-10=(x-2)(2x+5), temos:
-2x^2-x+10=-(x-2)(2x+5)
Assim a expressão total é
-(x-2)(2x+5)(x-2)(x+2)(x+3)
Cancelando o fator comum x-2 (com xneq2,-2,-3 para evitar divisão por zero), obtemos a forma mais simples.

Passo 6

Depois do cancelamento, sobra
-(2x+5)(x+2)(x+3)
Podemos distribuir o sinal negativo no numerador se quisermos, ficando
-2x-5(x+2)(x+3)

Resposta

-2x+5(x+2)(x+3)

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