Simplifique
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão
.
Informações dadas: a expressão contém a função tangente avaliada em
e em
. Não há valores numéricos de
; a simplificação deve ser em termos de
.
Passo 2
Lembrar a definição da tangente em termos de seno e cosseno. Para qualquer
em que esteja definida,
Aqui,
é o seno de
e
é o cosseno de
. Essa fórmula é útil porque permite usar propriedades do seno e do cosseno para transformar a tangente.
Passo 3
Usar as propriedades de paridade do seno e do cosseno. São fatos básicos de trigonometria:
Em palavras: o seno é uma função ímpar (muda de sinal quando
vira
) e o cosseno é uma função par (permanece igual quando
vira
).
Passo 4
Aplicar essas propriedades à definição da tangente para obter
. Usando
e as igualdades do passo anterior:
Portanto concluímos que a tangente é uma função ímpar:
.
Passo 5
Agora substituímos essa identidade na expressão original:
Somando os termos:
Passo 6
Verificação numérica rápida para ganhar confiança (exemplo): escolha
. Tem-se
Isso confirma a simplificação anterior.