Simplifique
\quad \tan (-x)+\tan (x)

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão \tan(-x)+\tan(x).
Informações dadas: a expressão contém a função tangente avaliada em -x e em x. Não há valores numéricos de x; a simplificação deve ser em termos de x.

Passo 2

Lembrar a definição da tangente em termos de seno e cosseno. Para qualquer x em que esteja definida,
\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.
Aqui, \sin(x) é o seno de x e \cos(x) é o cosseno de x. Essa fórmula é útil porque permite usar propriedades do seno e do cosseno para transformar a tangente.

Passo 3

Usar as propriedades de paridade do seno e do cosseno. São fatos básicos de trigonometria:
\sin(-x)=-\sin(x) \qquad\text{e}\qquad \cos(-x)=\cos(x).
Em palavras: o seno é uma função ímpar (muda de sinal quando x vira -x) e o cosseno é uma função par (permanece igual quando x vira -x).

Passo 4

Aplicar essas propriedades à definição da tangente para obter \tan(-x). Usando \tan(-x)=\dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)} e as igualdades do passo anterior:
\tan(-x)=\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin(x)}{\cos(x)}=-\frac{\sin(x)}{\cos(x)}=-\tan(x).
Portanto concluímos que a tangente é uma função ímpar: \tan(-x)=-\tan(x).

Passo 5

Agora substituímos essa identidade na expressão original:
\tan(-x)+\tan(x)=\bigl(-\tan(x)\bigr)+\tan(x).
Somando os termos:
-\tan(x)+\tan(x)=0.

Passo 6

Verificação numérica rápida para ganhar confiança (exemplo): escolha x=\dfrac{\pi}{6}. Tem-se
\tan\!\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\tan\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}=0.
Isso confirma a simplificação anterior.

Resposta

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