Simplifique:
(c) \frac{3^{4}\left(3^{2}\right)^{6}}{(-3)^{15} 3^{7}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\displaystyle \frac{3^{4}\left(3^{2}\right)^{6}}{(-3)^{15} 3^{7}}.
Vou listar o que temos: numerador 3^{4}\left(3^{2}\right)^{6} e denominador (-3)^{15} 3^{7}. O objetivo é reduzir a expressão aplicando propriedades de potências e obter uma forma simples (número racional).

Passo 2

Regra usada: \displaystyle (a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}. Aplicando a esta parte do numerador:
\displaystyle \left(3^{2}\right)^{6}=3^{2\cdot 6}=3^{12}.

Passo 3

Regra usada: \displaystyle a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}. Agora combine 3^{4} com 3^{12}:
\displaystyle 3^{4}\cdot 3^{12}=3^{4+12}=3^{16}.
Portanto o numerador simplifica para \displaystyle 3^{16}.

Passo 4

Tratar o sinal no denominador. Regra: \displaystyle (-a)^{n}=(-1)^{n}a^{n}. Como o expoente é ímpar ( 15), tem-se \displaystyle (-1)^{15}=-1. Logo
\displaystyle (-3)^{15}=(-1)^{15}\cdot 3^{15}=-3^{15}.

Passo 5

Agora o denominador é \displaystyle (-3^{15})\cdot 3^{7}. Combine as potências de 3 (ignorando momentaneamente o sinal):
\displaystyle 3^{15}\cdot 3^{7}=3^{15+7}=3^{22}.
Portanto o denominador é \displaystyle -3^{22}.

Passo 6

Agora escrevemos a fração com potências de mesma base:
\displaystyle \frac{3^{16}}{-3^{22}}.
Regra usada: \displaystyle \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}. Aplicando,
\displaystyle \frac{3^{16}}{-3^{22}}=-\,3^{16-22}=-\,3^{-6}.

Passo 7

Regra de expoente negativo: \displaystyle a^{-k}=\frac{1}{a^{k}}. Assim
\displaystyle -3^{-6}=-\frac{1}{3^{6}}.
Vamos calcular 3^{6} passo a passo:
\displaystyle 3^{2}=9,\;3^{3}=27,\;3^{4}=81,\;3^{5}=243,\;3^{6}=729.
Logo \displaystyle -\frac{1}{3^{6}}=-\frac{1}{729}.

Resposta

-\dfrac{1}{729}

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