Simplifique cada expressão abaixo:
\frac{4 t^{2}}{t^{2}-s^{2}}-\frac{t-s}{t+s}+\frac{t+s}{t-s}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\frac{4t^{2}}{t^{2}-s^{2}}-\frac{t-s}{t+s}+\frac{t+s}{t-s}.
O conteúdo aqui é manipulação de frações algébricas: vamos usar a fatoração de diferença de quadrados, achar o mínimo múltiplo comum de denominadores e somar as frações.

Passo 2

Primeiro observe que
t^{2}-s^{2}=(t-s)(t+s).
O denominador comum das três frações é (t-s)(t+s). Reescrevendo cada termo sobre esse denominador, temos
\frac{4t^{2}}{(t-s)(t+s)} -\frac{t-s}{t+s}\cdot\frac{t-s}{t-s} +\frac{t+s}{t-s}\cdot\frac{t+s}{t+s} = \frac{4t^{2} - (t-s)^{2} + (t+s)^{2}}{(t-s)(t+s)}.

Passo 3

Agora expandimos o numerador:
4t^{2} - (t-s)^{2} + (t+s)^{2} =4t^{2} - \bigl(t^{2}-2ts+s^{2}\bigr) + \bigl(t^{2}+2ts+s^{2}\bigr).

Passo 4

Somando termo a termo:
4t^{2} - t^{2} + t^{2} =4t^{2}, \quad -(-2ts)+2ts=4ts, \quad - s^{2}+s^{2}=0.
Logo o numerador fica
4t^{2}+4ts = 4t(t+s).
A expressão virou
\frac{4t(t+s)}{(t-s)(t+s)}.

Passo 5

Podemos cancelar o fator (t+s) (desde que t+s\neq0), restando
\frac{4t}{t-s}.

Resposta

\frac{4t}{t-s}

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