Simplifique cada expressão abaixo:
\frac{x+1}{2 x-2}-\frac{x-1}{2 x+2}+\frac{4 x}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x+1}{2x-2}-\frac{x-1}{2x+2}+\frac{4x}{x^2-1}.
O conteúdo principal é manipulação de frações algébricas: vamos fatorar denominadores, obter denominador comum, somar as frações e depois simplificar.

Passo 2

Fatoramos cada denominador para ver claramente os fatores em comum:
2x-2 = 2(x-1),\quad 2x+2 = 2(x+1),\quad x^2-1 = (x-1)(x+1).

Passo 3

O denominador comum mínimo é
2\,(x-1)\,(x+1).
Reescrevemos cada fração sobre esse denominador:
Primeiro termo:
\frac{x+1}{2(x-1)} = \frac{(x+1)\,(x+1)}{2\,(x-1)\,(x+1)} = \frac{(x+1)^2}{2\,(x-1)\,(x+1)}.
Segundo termo:
\frac{x-1}{2(x+1)} = \frac{(x-1)\,(x-1)}{2\,(x+1)\,(x-1)} = \frac{(x-1)^2}{2\,(x-1)\,(x+1)}.
Terceiro termo:
\frac{4x}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x\cdot 2}{2\,(x-1)\,(x+1)} = \frac{8x}{2\,(x-1)\,(x+1)}.

Passo 4

Somamos as frações com o mesmo denominador:
\frac{(x+1)^2}{2\,(x-1)\,(x+1)} -\frac{(x-1)^2}{2\,(x-1)\,(x+1)} +\frac{8x}{2\,(x-1)\,(x+1)} = \frac{(x+1)^2 - (x-1)^2 + 8x}{2\,(x-1)\,(x+1)}.
Agora simplificamos o numerador:
(x+1)^2 - (x-1)^2 + 8x = \bigl(x^2+2x+1\bigr) - \bigl(x^2-2x+1\bigr) + 8x = 4x + 8x = 12x.
Então a expressão fica
\frac{12x}{2\,(x-1)\,(x+1)}.

Passo 5

Cancelamos o fator 2 no numerador e no denominador:
\frac{12x}{2\,(x-1)\,(x+1)} = \frac{6x}{(x-1)\,(x+1)} = \frac{6x}{x^2-1}.

Resposta

\displaystyle \frac{6x}{x^2-1}

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