Simplifique cada expressão:
\begin{aligned} & \sqrt{200}-\sqrt{32} \\ & (3 a b)^{3}\left(4 a b^{2}\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar cada uma das duas expressões abaixo:
\sqrt{200}-\sqrt{32}
(3 a b)^{3}\left(4 a b^{2}\right)
Informações dadas: as expressões usam raiz quadrada e potências com as variáveis \,a e \,b. Não há outras condições sobre \,a e \,b no enunciado (assume-se que são símbolos algébricos).

Passo 2

Entendimento útil para a primeira expressão (pequena “aula”):
  • Para simplificar raízes quadradas, usa-se que se p é um quadrado perfeito então
\sqrt{p q}=\sqrt{p}\,\sqrt{q}.
  • Um número inteiro p é quadrado perfeito se existe um inteiro k tal que p=k^{2} (por exemplo 1,4,9,16,25,36,100 são quadrados perfeitos).
  • A ideia é fatorar o radicando (o número dentro da raiz) isolando o maior quadrado perfeito possível.

Passo 3

Aplicando isso a \sqrt{200} e \sqrt{32}. Primeiro fatorar 200 e 32 em um quadrado perfeito vezes outro fator:
200=100\cdot 2,\qquad 32=16\cdot 2.
Como 100 e 16 são quadrados perfeitos ( 100=10^{2}, 16=4^{2}), temos:
\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=\sqrt{100}\,\sqrt{2}=10\sqrt{2},
\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{16}\,\sqrt{2}=4\sqrt{2}.

Passo 4

Agora substituímos na expressão original e simplificamos termos semelhantes (ambos têm fator \sqrt{2}):
\sqrt{200}-\sqrt{32}=10\sqrt{2}-4\sqrt{2}=(10-4)\sqrt{2}=6\sqrt{2}.

Passo 5

Entendimento útil para a segunda expressão (pequena “aula”):
  • Regra de potência de um produto: para quaisquer números/símbolos x,y e inteiro n,
(xy)^{n}=x^{n}y^{n}.
  • Regra de multiplicação de potências de mesma base: para qualquer base x e inteiros m,n,
x^{m}x^{n}=x^{m+n}.
  • Ao calcular (3ab)^{3} aplica-se a primeira regra e depois combina-se com o outro fator usando a segunda regra.

Passo 6

Calcular (3ab)^{3} usando (xy)^{n}=x^{n}y^{n}:
(3ab)^{3}=3^{3}a^{3}b^{3}=27a^{3}b^{3}.
Agora multiplicar por \left(4ab^{2}\right):
27a^{3}b^{3}\cdot 4a b^{2}.
Separando coeficientes numéricos e potências das variáveis:
27\cdot 4 \;\cdot\; a^{3}\cdot a \;\cdot\; b^{3}\cdot b^{2}.
Aplicando as regras de soma de expoentes a^{3}a^{1}=a^{3+1}=a^{4} e b^{3}b^{2}=b^{3+2}=b^{5}, e calculando 27\cdot 4=108, obtém-se:
108\,a^{4}b^{5}.

Resposta

6\sqrt{2}
108 a^{4} b^{5}

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