Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos vale 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo vale 5, qual é o valor do seno desse mesmo ângulo?

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo e informa duas coisas:
  • A tangente de um dos ângulos agudos vale 2. Ou seja, se chamarmos esse ângulo de \theta, temos \tan\theta=2.
  • A hipotenusa do triângulo vale 5. Ou seja, o comprimento da hipotenusa é 5.
O que se pede:
  • Calcular o valor do seno desse mesmo ângulo \theta, isto é, encontrar \sin\theta.

Passo 2

Relembrando as definições trigonométricas num triângulo retângulo (para um ângulo agudo \theta):
  • \sin\theta=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
  • \cos\theta=\dfrac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}.
  • \tan\theta=\dfrac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Aqui vamos usar essas relações com nomes para os comprimentos dos lados:
  • Seja o o cateto oposto a \theta.
  • Seja a o cateto adjacente a \theta.
  • Seja h a hipotenusa (sabemos que h=5).

Passo 3

Usando \tan\theta=2 temos
\tan\theta=\frac{o}{a}=2.
Isso diz que o=2a. Para trabalhar com comprimentos concretos, é comum introduzir um fator de escala k>0 e escrever
a=k,\qquad o=2k.
Explicação: k é um número que ajusta o tamanho real do triângulo; as razões entre os lados ficam corretas.

Passo 4

Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo:
h=\sqrt{a^{2}+o^{2}}.
Substituindo a=k e o=2k obtemos
h=\sqrt{k^{2}+(2k)^{2}}=\sqrt{k^{2}+4k^{2}}=\sqrt{5k^{2}}=\sqrt{5}\,k.

Passo 5

Sabemos que a hipotenusa vale h=5. Igualando:
\sqrt{5}\,k=5.
Então
k=\frac{5}{\sqrt{5}}.
Podemos simplificar k observando que 5=\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}, portanto
k=\sqrt{5}.

Passo 6

Agora encontramos o comprimento do cateto oposto:
o=2k=2\sqrt{5}.
E o seno do ângulo \theta é
\sin\theta=\frac{o}{h}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.

Passo 7

Verificação alternativa (identidade útil para provas): partir de \tan\theta=2 e usar \tan^{2}\theta=\dfrac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} junto com \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1 leva à fórmula direta
\sin\theta=\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}=\frac{2}{\sqrt{1+4}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5},
o que confirma o resultado anterior. Esta segunda maneira é prática quando só se conhece \tan\theta e se quer \sin\theta sem desenhar triângulo.

Resposta

\dfrac{2\sqrt{5}}{5}

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