Em um triângulo retângulo, a tangente de um de seus ângulos agudos vale 2. Sabendo-se que a hipotenusa desse triângulo vale 5, qual é o valor do seno desse mesmo ângulo?
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo e informa duas coisas:
- A tangente de um dos ângulos agudos vale
. Ou seja, se chamarmos esse ângulo de , temos . - A hipotenusa do triângulo vale
. Ou seja, o comprimento da hipotenusa é .
O que se pede:
- Calcular o valor do seno desse mesmo ângulo
, isto é, encontrar .
Passo 2
Relembrando as definições trigonométricas num triângulo retângulo (para um ângulo agudo
):
-
. -
. -
.
Aqui vamos usar essas relações com nomes para os comprimentos dos lados:
- Seja
o cateto oposto a . - Seja
o cateto adjacente a . - Seja
a hipotenusa (sabemos que ).
Passo 3
Usando
temos
Isso diz que
. Para trabalhar com comprimentos concretos, é comum introduzir um fator de escala
e escrever
Explicação:
é um número que ajusta o tamanho real do triângulo; as razões entre os lados ficam corretas.
Passo 4
Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo:
Substituindo
e
obtemos
Passo 5
Sabemos que a hipotenusa vale
. Igualando:
Então
Podemos simplificar
observando que
, portanto
Passo 6
Agora encontramos o comprimento do cateto oposto:
E o seno do ângulo
é
Passo 7
Verificação alternativa (identidade útil para provas): partir de
e usar
junto com
leva à fórmula direta
o que confirma o resultado anterior. Esta segunda maneira é prática quando só se conhece
e se quer
sem desenhar triângulo.