Simplifique cada uma das seguintes expressões usando os teoremas de DeMorgan.
\overline{\mathrm{AB} \overline{\mathrm{CD}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar usando os teoremas de De Morgan a expressão dada. A expressão fornecida é
\overline{\mathrm{AB}\\ \overline{\mathrm{CD}}}.
Informações relevantes que temos:
  • As letras A,B,C,D são variáveis booleanas (valores 0 ou 1).
  • A escrita por justaposição (por exemplo AB) significa A E B (AND).
  • O sinal \overline{(\cdot)} significa negação (NOT).
  • O objetivo é aplicar De Morgan e outras identidades booleanas para obter uma forma mais simples.

Passo 2

Relembrando os teoremas de De Morgan (ferramentas que vamos usar):
\overline{X Y} = \overline{X} + \overline{Y}
\overline{X + Y} = \overline{X}\\ \overline{Y}
Aqui X e Y são expressões booleanas quaisquer. O símbolo + representa OR (ou lógico). Além disso, uma identidade útil é a dupla negação:
\overline{\overline{X}} = X.
Explicando em linguagem simples: a negação de uma conjunção vira a disjunção das negações, e vice-versa; e negar duas vezes volta ao original.

Passo 3

Para aplicar De Morgan de forma direta, identifique duas partes na expressão original. Tome
X = AB\qquad\text{e}\qquad Y=\overline{CD}.
Então a expressão é \overline{X Y}, isto é
\overline{AB\\ \overline{CD}} = \overline{X Y}.

Passo 4

Aplique De Morgan à negação da conjunção \overline{X Y}:
\overline{AB\\ \overline{CD}} = \overline{AB} + \overline{\overline{CD}}.
Isso segue diretamente da fórmula \overline{X Y} = \overline{X} + \overline{Y}.

Passo 5

Agora simplifique cada termo da soma:
  • Use De Morgan novamente para \overline{AB}:
\overline{AB} = \overline{A} + \overline{B}.
  • Use dupla negação em \overline{\overline{CD}}:
\overline{\overline{CD}} = CD.

Passo 6

Substituindo as simplificações na expressão obtida no Passo 4:
\overline{AB\\ \overline{CD}} = (\overline{A} + \overline{B}) + CD.
Pela associatividade e comutatividade do OR, podemos escrever de forma mais compacta:
\overline{AB\\ \overline{CD}} = \overline{A} + \overline{B} + CD.

Passo 7

Cheque rápido com um exemplo numérico (para ganhar confiança): escolha A=1,B=1,C=0,D=0.
  • Lado original: AB=1\cdot1=1, \overline{CD}=\overline{0\cdot0}=\overline{0}=1, então AB\\ \overline{CD}=1\cdot1=1 e \overline{AB\\ \overline{CD}}=\overline{1}=0.
  • Lado simplificado: \overline{A}+\overline{B}+CD=\overline{1}+\overline{1}+0\cdot0=0+0+0=0.
    Os dois lados dão 0, consistente com a equivalência.

Resposta

\overline{A} + \overline{B} + CD

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