Simplifique cada uma das seguintes expressões usando os teoremas de DeMorgan.
\overline{\mathrm{A}+\overline{\mathrm{B}}}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dada a expressão lógica \overline{A+\overline{B}}.
  • O objetivo é simplificá-la usando os teoremas de De Morgan.
  • Notação (lista de informações úteis):
    • A e B são variáveis lógicas (valores verdadeiros/falsos).
    • O símbolo + representa a operação OR (disjunção).
    • O símbolo \cdot representa a operação AND (conjunção).
    • \overline{X} representa a negação (NOT) da proposição X.

Passo 2

Lembrando os teoremas de De Morgan (esses são os “ferramentas” que vamos usar):
  • Para duas proposições X e Y vale
\overline{X+Y}=\overline{X}\cdot\overline{Y},
ou seja, a negação de uma OR vira AND das negações.
  • E também vale
\overline{X\cdot Y}=\overline{X}+\overline{Y},
ou seja, a negação de um AND vira OR das negações.
Explicando em palavras: a negação “entra” na expressão trocando OR por AND (ou vice‑versa) e negando cada termo.

Passo 3

Aplicando diretamente o primeiro teorema de De Morgan à expressão \overline{A+\overline{B}}:
\overline{A+\overline{B}}=\overline{A}\cdot\overline{\overline{B}}.
Aqui tratei X=A e Y=\overline{B} no teorema \overline{X+Y}=\overline{X}\cdot\overline{Y}.

Passo 4

Usando a lei da dupla negação (que diz que negar duas vezes retorna o valor original), ou seja
\overline{\overline{B}}=B,
substituímos na expressão obtida em

Passo 5

\overline{A}\cdot\overline{\overline{B}}=\overline{A}\cdot B.
Essa é a forma simplificada.

Passo 6

Verificação rápida com tabela de verdades (mostrando que ambas expressões coincidem):
  • Casos (A,B):
    • (0,0): \overline{B}=1, A+\overline{B}=0+1=1, \overline{A+\overline{B}}=0; \overline{A}=1, \overline{A}\cdot B=1\cdot0=0.
    • (0,1): \overline{B}=0, A+\overline{B}=0+0=0, \overline{A+\overline{B}}=1; \overline{A}=1, \overline{A}\cdot B=1\cdot1=1.
    • (1,0): \overline{B}=1, A+\overline{B}=1+1=1, \overline{A+\overline{B}}=0; \overline{A}=0, \overline{A}\cdot B=0\cdot0=0.
    • (1,1): \overline{B}=0, A+\overline{B}=1+0=1, \overline{A+\overline{B}}=0; \overline{A}=0, \overline{A}\cdot B=0\cdot1=0.
      Em todos os casos os resultados coincidem, confirmando a simplificação.

Passo 7

Dica rápida de prova: sempre que você vir uma negação aplicando-se a uma soma (OR), pode imediatamente aplicar De Morgan e transformar em produto (AND) das negações — e depois simplificar duplas negações. É uma estratégia que salva tempo na prova.

Resposta

\overline{A}\cdot B

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