Simplifique cada uma das seguintes expressões usando os teoremas de DeMorgan.
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão dada usando os teoremas de DeMorgan.
Informações fornecidas:
- A expressão a simplificar é
. - Notação: a justaposição
ou significa AND (produto lógico). A barra por cima indica complemento (negação).
Passo 2
Lembrando os teoremas e regras que vamos usar (com explicações curtas e intuitivas):
- Dupla negação: para qualquer expressão
,
Isto significa que negar duas vezes retorna o original.
- Teorema de De Morgan (produto para soma): para duas expressões
e ,
ou seja, o complemento de um AND é o OR dos complementos.
- De Morgan estendido para três fatores: para
, , ,
obtido aplicando De Morgan repetidamente.
- Propriedade do complementar de variável com ela mesma:
onde
é o elemento neutro do OR (falso). E
.
Passo 3
Aplicar dupla negação externa: a expressão original é a negação da negação de
. Definindo
, temos
Portanto a expressão simplifica imediatamente para
Passo 4
Aplicar De Morgan em
. Usando a versão estendida,
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
Passo 5
Distribuir e simplificar passo a passo (faça isso devagar na prova):
Primeiro associe os fatores:
Primeiro associe os fatores:
Agora distribua
sobre
:
Usando
, isto vira
Multiplicando pelo
restante:
Passo 6
Fatorando
na expressão soma, obtemos uma forma mais compacta:
Ambas formas são equivalentes; a segunda é normalmente considerada mais simples.