Simplifique cada uma das seguintes expressões usando os teoremas de DeMorgan.
\overline{\overline{\overline{\mathrm{ABC}} \mathrm{CD}}}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão dada usando os teoremas de DeMorgan.
Informações fornecidas:
  • A expressão a simplificar é \overline{\overline{\overline{\mathrm{ABC}} \mathrm{CD}}}.
  • Notação: a justaposição ABC ou CD significa AND (produto lógico). A barra por cima indica complemento (negação).

Passo 2

Lembrando os teoremas e regras que vamos usar (com explicações curtas e intuitivas):
  • Dupla negação: para qualquer expressão X,
\overline{\overline{X}} = X.
Isto significa que negar duas vezes retorna o original.
  • Teorema de De Morgan (produto para soma): para duas expressões X e Y,
\overline{X Y} = \overline{X} + \overline{Y},
ou seja, o complemento de um AND é o OR dos complementos.
  • De Morgan estendido para três fatores: para A, B, C,
\overline{A B C} = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C},
obtido aplicando De Morgan repetidamente.
  • Propriedade do complementar de variável com ela mesma:
C\cdot\overline{C} = 0,
onde 0 é o elemento neutro do OR (falso). E X + 0 = X.

Passo 3

Aplicar dupla negação externa: a expressão original é a negação da negação de \overline{ABC}\,CD. Definindo X = \overline{ABC}\,CD, temos
\overline{\overline{X}} = X.
Portanto a expressão simplifica imediatamente para
\overline{ABC}\,CD.

Passo 4

Aplicar De Morgan em \overline{ABC}. Usando a versão estendida,
\overline{ABC} = \overline{A} + \overline{B} + \overline{C}.
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
\overline{ABC}\,CD = (\overline{A} + \overline{B} + \overline{C})\,C\,D.

Passo 5

Distribuir e simplificar passo a passo (faça isso devagar na prova):
Primeiro associe os fatores:
(\overline{A} + \overline{B} + \overline{C})\,C\,D = \big((\overline{A} + \overline{B} + \overline{C})\,C\big)\,D.
Agora distribua (\overline{A} + \overline{B} + \overline{C}) sobre C:
(\overline{A} + \overline{B} + \overline{C})\,C = \overline{A}C + \overline{B}C + \overline{C}C.
Usando \overline{C}C = 0, isto vira
\overline{A}C + \overline{B}C + 0 = \overline{A}C + \overline{B}C.
Multiplicando pelo D restante:
(\overline{A}C + \overline{B}C)D = \overline{A}C D + \overline{B}C D.

Passo 6

Fatorando C D na expressão soma, obtemos uma forma mais compacta:
\overline{A}C D + \overline{B}C D = C D (\overline{A} + \overline{B}).
Ambas formas são equivalentes; a segunda é normalmente considerada mais simples.

Resposta

C D (\overline{A} + \overline{B})

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