Simplifique cada uma das seguintes expressões usando os teoremas de DeMorgan. \overline{\overline{\mathrm{A}}+\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{D}}}
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão usando os teoremas de De Morgan. A expressão dada é \overline{\overline{A}+\overline{C}+\overline{D}}.
Informações relevantes que temos:
O símbolo + representa a operação lógica OU.
A justaposição ou o ponto representa a operação lógica E (aqui vou usar \cdot quando necessário para clareza).
A barra superior \overline{\,\cdot\,} representa a negação (NOT).
Queremos reduzir a expressão até uma forma mais simples, usando De Morgan e outras propriedades básicas da lógica booleana.
Passo 2
Lembrete didático: os teoremas de De Morgan são duas igualdades básicas da lógica booleana que relacionam negação com OR e AND. Em forma geral:
\overline{X+Y}=\overline{X}\cdot\overline{Y}
\overline{X\cdot Y}=\overline{X}+\overline{Y}
Aqui X e Y representam proposições (ou variáveis booleanas). Essas fórmulas dizem que a negação de uma disjunção é a conjunção das negações, e a negação de uma conjunção é a disjunção das negações.
Passo 3
Extensão para três termos: a versão com três somas é obtida aplicando De Morgan sucessivamente ou entendendo a regra de forma natural:
Agora use a propriedade da dupla negação: para qualquer proposição P vale \overline{\overline{P}}=P. Aplicando isso aos três fatores obtemos:
\overline{\overline{A}}\cdot\overline{\overline{C}}\cdot\overline{\overline{D}}=A\cdot C\cdot D.
Passo 6
Interpretação intuitiva (curtinha e motivadora): a expressão original nega que exista pelo menos uma entre \overline{A},\overline{C},\overline{D} verdadeira; portanto só é verdadeira quando todas as variáveis A,C,D são verdadeiras ao mesmo tempo—ou seja, A E C E D.