Simplifique as seguintes expressões usando a álgebra booleana. \mathrm{x}=\mathrm{ABC}+\overline{\mathrm{A}} \mathrm{C}
Passo 1
O enunciado dá a expressão booleana a ser simplificada: x = ABC + \overline{A}C.
O que é pedido: simplificar essa expressão usando leis da álgebra booleana (ou seja, encontrar uma forma equivalente, mais simples, de x).
Informações fornecidas: as variáveis lógicas A, B, C e o operador de negação \overline{\cdot}. Não há outras restrições.
Passo 2
Observação inicial: notar que a variável C aparece em ambos os termos somados (ABC e \overline{A}C). Em álgebra booleana existe a propriedade distributiva semelhante à da álgebra comum:
XY + XZ = X(Y+Z),
onde a concatenação (XY) representa X AND Y e o + representa OR. Aplicando essa fatoração aqui, podemos colocar C em evidência:
x = ABC + \overline{A}C = C\,(AB + \overline{A}).
Essa é uma etapa de reorganização (fatoração) — muito útil para reduzir termos.
Passo 3
Agora simplificamos a expressão dentro do parêntese: AB + \overline{A}. Para isso usamos a forma distributiva “ao contrário”:
X + YZ = (X+Y)(X+Z).
Escolhendo X=\overline{A}, Y=A e Z=B, obtemos
\overline{A} + AB = (\overline{A}+A)(\overline{A}+B).
Substituindo a simplificação obtida no Passo 2 (a expressão que estava dentro do parêntese) volta na fatoração por C, temos a expressão já simplificada:
x = C\,(\overline{A} + B).
Observação: esta forma tem menos ocorrências de literais do que a original, então está realmente mais simples.
Passo 5
Verificação rápida por raciocínio em casos (checagem intuitiva):
Se C=0 então ambos os termos originais ABC e \overline{A}C valem 0, logo x=0. Na forma C(\overline{A}+B), com C=0 também dá 0. OK.
Se C=1 então x = AB + \overline{A}. Se A=0 então \overline{A}=1 e x=1. Se A=1 então \overline{A}=0 e x=AB=B. Assim x quando C=1 vale \overline{A}+B, o que corresponde a C(\overline{A}+B) com C=1. OK.
Passo 6
Resumo das leis usadas e um exemplo rápido extra para fixar:
Distributiva: \;XY + XZ = X(Y+Z)\;. Exemplo: P Q + P R = P(Q+R).
Distributiva inversa: \;X + YZ = (X+Y)(X+Z)\;. Exemplo: X + YZ = (X+Y)(X+Z).
Aplicando essas regras chegamos à simplificação feita acima — vai bem usar essa sequência (fatorar termos comuns, simplificar parenteses com distributiva/complemento) nas questões da prova.