Simplifique as seguintes expressões usando a álgebra booleana.
\mathrm{x}=\mathrm{ABC}+\overline{\mathrm{A}} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado dá a expressão booleana a ser simplificada: x = ABC + \overline{A}C.
O que é pedido: simplificar essa expressão usando leis da álgebra booleana (ou seja, encontrar uma forma equivalente, mais simples, de x).
Informações fornecidas: as variáveis lógicas A, B, C e o operador de negação \overline{\cdot}. Não há outras restrições.

Passo 2

Observação inicial: notar que a variável C aparece em ambos os termos somados ( ABC e \overline{A}C). Em álgebra booleana existe a propriedade distributiva semelhante à da álgebra comum:
XY + XZ = X(Y+Z),
onde a concatenação ( XY) representa X AND Y e o + representa OR. Aplicando essa fatoração aqui, podemos colocar C em evidência:
x = ABC + \overline{A}C = C\,(AB + \overline{A}).
Essa é uma etapa de reorganização (fatoração) — muito útil para reduzir termos.

Passo 3

Agora simplificamos a expressão dentro do parêntese: AB + \overline{A}. Para isso usamos a forma distributiva “ao contrário”:
X + YZ = (X+Y)(X+Z).
Escolhendo X=\overline{A}, Y=A e Z=B, obtemos
\overline{A} + AB = (\overline{A}+A)(\overline{A}+B).
Em álgebra booleana vale a lei do complemento:
\overline{A} + A = 1,
pois A ou não- A é sempre verdadeiro. Assim
(\overline{A}+A)(\overline{A}+B) = 1\cdot(\overline{A}+B) = \overline{A}+B.
Portanto concluímos:
AB + \overline{A} = \overline{A} + B.

Passo 4

Substituindo a simplificação obtida no Passo 2 (a expressão que estava dentro do parêntese) volta na fatoração por C, temos a expressão já simplificada:
x = C\,(\overline{A} + B).
Observação: esta forma tem menos ocorrências de literais do que a original, então está realmente mais simples.

Passo 5

Verificação rápida por raciocínio em casos (checagem intuitiva):
  • Se C=0 então ambos os termos originais ABC e \overline{A}C valem 0, logo x=0. Na forma C(\overline{A}+B), com C=0 também dá 0. OK.
  • Se C=1 então x = AB + \overline{A}. Se A=0 então \overline{A}=1 e x=1. Se A=1 então \overline{A}=0 e x=AB=B. Assim x quando C=1 vale \overline{A}+B, o que corresponde a C(\overline{A}+B) com C=1. OK.

Passo 6

Resumo das leis usadas e um exemplo rápido extra para fixar:
  • Distributiva: \;XY + XZ = X(Y+Z)\;. Exemplo: P Q + P R = P(Q+R).
  • Distributiva inversa: \;X + YZ = (X+Y)(X+Z)\;. Exemplo: X + YZ = (X+Y)(X+Z).
  • Complemento: \;X + \overline{X} = 1\;. Exemplo: D + \overline{D} = 1.
Aplicando essas regras chegamos à simplificação feita acima — vai bem usar essa sequência (fatorar termos comuns, simplificar parenteses com distributiva/complemento) nas questões da prova.

Resposta

C(\overline{A} + B)

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