Simplifique as seguintes expressões usando a álgebra booleana.
\mathrm{z}=(\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}})(\overline{\mathrm{B}}+\mathrm{C})+\overline{\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}}}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão
\mathrm{z}=(\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}})(\overline{\mathrm{B}}+\mathrm{C})+\overline{\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}}}.
Informações dadas e notação (para ficar claro):
  • O símbolo + significa OR (soma lógica).
  • A justaposição (por exemplo XY) significa AND (produto lógico).
  • \overline{X} significa NOT (complemento) de X.
    O objetivo é obter uma expressão mais simples (com menos termos ou fatores) equivalente a \mathrm{z}. Não vou usar outras informações além da expressão dada.

Passo 2

Simplificar o primeiro produto (\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}})(\overline{\mathrm{B}}+\mathrm{C}) por expansão (distributiva — “FOIL”):
(\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}})(\overline{\mathrm{B}}+\mathrm{C}) = \mathrm{B}\,\overline{\mathrm{B}} + \mathrm{B}\mathrm{C} + \overline{\mathrm{C}}\,\overline{\mathrm{B}} + \overline{\mathrm{C}}\,\mathrm{C}.
Agora usamos as identidades básicas da álgebra booleana:
  • \mathrm{X}\,\overline{\mathrm{X}} = 0 (contradição),
  • \mathrm{X} + 0 = \mathrm{X}.
    Então \mathrm{B}\,\overline{\mathrm{B}}=0 e \overline{\mathrm{C}}\,\mathrm{C}=0. Eliminando esses termos:
(\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}})(\overline{\mathrm{B}}+\mathrm{C}) = \mathrm{B}\mathrm{C} + \overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}}.
Breve explicação didática: o produto original é justamente a soma dos casos em que B e C têm o mesmo valor (é a operação de equivalência entre B e C).

Passo 3

Simplificar o segundo termo \overline{\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}}} usando a lei de De Morgan:
A lei de De Morgan diz que \overline{X+Y+Z}=\overline{X}\,\overline{Y}\,\overline{Z}. Aplicando com X=\overline{\mathrm{A}},\,Y=\mathrm{B},\,Z=\overline{\mathrm{C}}:
\overline{\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}}} = \overline{\overline{\mathrm{A}}}\;\overline{\mathrm{B}}\;\overline{\overline{\mathrm{C}}}.
Usando dupla negação \overline{\overline{\mathrm{A}}}=\mathrm{A} e \overline{\overline{\mathrm{C}}}=\mathrm{C}, obtemos:
\overline{\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}}} = \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}.

Passo 4

Agora reescrevemos \mathrm{z} com os resultados dos passos anteriores:
\mathrm{z} = \mathrm{B}\mathrm{C} + \overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}} + \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}.
Explicação: juntamos o resultado do primeiro produto \mathrm{B}\mathrm{C} + \overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}} com o termo vindo de De Morgan \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}.

Passo 5

Agrupamos termos que têm fator comum \mathrm{C}:
\mathrm{z} = \overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}} + \mathrm{C}\bigl(\mathrm{B} + \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\bigr).
Aqui usei a distributiva inversa: \mathrm{B}\mathrm{C} + \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C} = \mathrm{C}(\mathrm{B} + \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}).

Passo 6

Simplificar a soma dentro do parêntese: \mathrm{B} + \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}.
Existe uma identidade útil: x + y\overline{x} = x + y. Aplicando com x=\mathrm{B} e y=\mathrm{A} (ou usar a fórmula x+yz=(x+y)(x+z) e notar que x+\overline{x}=1), obtemos
\mathrm{B} + \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}} = \mathrm{B} + \mathrm{A}.
Portanto
\mathrm{z} = \overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}} + \mathrm{C}(\mathrm{B} + \mathrm{A}).

Passo 7

Se quiser, expandindo \mathrm{C}(\mathrm{B}+\mathrm{A}) obtemos a forma soma de produtos
\mathrm{z} = \overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}} + \mathrm{B}\mathrm{C} + \mathrm{A}\mathrm{C},
mas a forma mais compacta e conveniente é
\mathrm{z} = \overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}} + \mathrm{C}(\mathrm{B} + \mathrm{A}).

Resposta

\overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}}+\mathrm{C}(\mathrm{B}+\mathrm{A})

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