Simplifique as seguintes expressões usando a álgebra booleana. \mathrm{z}=(\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}})(\overline{\mathrm{B}}+\mathrm{C})+\overline{\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}}}
A justaposição (por exemplo XY) significa AND (produto lógico).
\overline{X} significa NOT (complemento) de X.
O objetivo é obter uma expressão mais simples (com menos termos ou fatores) equivalente a \mathrm{z}. Não vou usar outras informações além da expressão dada.
Passo 2
Simplificar o primeiro produto (\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}})(\overline{\mathrm{B}}+\mathrm{C}) por expansão (distributiva — “FOIL”):
Breve explicação didática: o produto original é justamente a soma dos casos em que B e C têm o mesmo valor (é a operação de equivalência entre B e C).
Passo 3
Simplificar o segundo termo \overline{\overline{\mathrm{A}}+\mathrm{B}+\overline{\mathrm{C}}} usando a lei de De Morgan:
A lei de De Morgan diz que \overline{X+Y+Z}=\overline{X}\,\overline{Y}\,\overline{Z}. Aplicando com X=\overline{\mathrm{A}},\,Y=\mathrm{B},\,Z=\overline{\mathrm{C}}:
Explicação: juntamos o resultado do primeiro produto \mathrm{B}\mathrm{C} + \overline{\mathrm{B}}\,\overline{\mathrm{C}} com o termo vindo de De Morgan \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}\,\mathrm{C}.
Simplificar a soma dentro do parêntese: \mathrm{B} + \mathrm{A}\,\overline{\mathrm{B}}.
Existe uma identidade útil: x + y\overline{x} = x + y. Aplicando com x=\mathrm{B} e y=\mathrm{A} (ou usar a fórmula x+yz=(x+y)(x+z) e notar que x+\overline{x}=1), obtemos