Simplifique as equaçŏes de Navier-Stokes e escreva a equação simplificada obtida no gabarito ( 9 pts).
a) \rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}\right)=\rho g_{x}-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)
b) \rho\left(\frac{\partial v}{\partial t}+u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}+w \frac{\partial v}{\partial z}\right)=\rho g_{y}-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial z^{2}}\right)
c) \rho\left(\frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}\right)=\rho g_{z}-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar as três equações escalares de Navier–Stokes fornecidas e “escrever a equação simplificada obtida no gabarito”. As equações dadas são (copiadas do enunciado):
\rho\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u \frac{\partial u}{\partial x}+v \frac{\partial u}{\partial y}+w \frac{\partial u}{\partial z}\right)=\rho g_{x}-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)
\rho\left(\frac{\partial v}{\partial t}+u \frac{\partial v}{\partial x}+v \frac{\partial v}{\partial y}+w \frac{\partial v}{\partial z}\right)=\rho g_{y}-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu\left(\frac{\partial^{2} v}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} v}{\partial z^{2}}\right)
\rho\left(\frac{\partial w}{\partial t}+u \frac{\partial w}{\partial x}+v \frac{\partial w}{\partial y}+w \frac{\partial w}{\partial z}\right)=\rho g_{z}-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\left(\frac{\partial^{2} w}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} w}{\partial z^{2}}\right)
Informações relevantes dadas (lista clara):
  • As incógnitas são as componentes da velocidade u(x,y,z,t), v(x,y,z,t), w(x,y,z,t).
  • \rho é a densidade, p é a pressão, \mu é a viscosidade dinâmica.
  • (g_x,g_y,g_z) são as componentes de uma aceleração volumétrica (força por massa), p.ex. gravidade.
  • Queremos uma forma simplificada única que corresponda ao “gabarito” (presumivelmente a forma vetorial compacta).

Passo 2

Vamos traduzir essas três equações escalares em notação vetorial — isso é exatamente a “simplificação” que normalmente aparece em gabaritos: agrupar os três componentes numa única equação vetorial compacta. Antes de juntar, definimos as quantidades vetoriais básicas que vamos usar.
Definições:
  • Defina o campo de velocidade vetorial
\mathbf{u} = (u,v,w).
  • Defina o operador nabla (vetor diferencial)
\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right).
  • Defina o campo de aceleração volumétrica (força por unidade de massa)
\mathbf{g} = (g_x,g_y,g_z).

Passo 3

Explique o termo temporal e o termo convectivo em notação vetorial:
  • A derivada temporal do vetor velocidade é
\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = \left(\frac{\partial u}{\partial t},\frac{\partial v}{\partial t},\frac{\partial w}{\partial t}\right).
  • O termo convectivo (também chamado de aceleração convectiva) é escrito em notação vetorial como
(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}.
Agora vamos mostrar por quê essa expressão gera exatamente os termos escalares que aparecem nas equações: o produto escalar \mathbf{u}\cdot\nabla é u\frac{\partial}{\partial x}+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}. Aplicando isso a \mathbf{u} obtém-se componente a componente:
  • Componente x:
\big((\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\big)_x = u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z},
que é exatamente o termo convectivo da primeira equação.
  • As componentes y e z seguem da mesma forma e coincidem com os termos convectivos das segunda e terceira equações.

Passo 4

Explique o termo de gradiente de pressão:
  • O gradiente de pressão é o vetor
\nabla p = \left(\frac{\partial p}{\partial x},\frac{\partial p}{\partial y},\frac{\partial p}{\partial z}\right).
  • Nas equações escalares aparece -\frac{\partial p}{\partial x}, -\frac{\partial p}{\partial y}, -\frac{\partial p}{\partial z}, ou seja, em notação vetorial é simplesmente -\nabla p.

Passo 5

Explique o termo viscoso com o Laplaciano:
  • O Laplaciano escalar é
\nabla^{2} = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}.
  • O Laplaciano aplicado ao vetor velocidade é definido componente a componente:
\nabla^{2}\mathbf{u} = (\nabla^{2}u,\nabla^{2}v,\nabla^{2}w).
  • Assim, o termo viscoso \mu\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right) para a componente u é simplesmente \mu (\nabla^{2}\mathbf{u})_x, e análogas para v e w. Como \mu é fator comum, em notação vetorial o termo viscoso é \mu \nabla^{2}\mathbf{u}.

Passo 6

Explique o termo das forças de corpo (body forces):
  • As três componentes \rho g_x, \rho g_y, \rho g_z formam o vetor \rho\mathbf{g}.
  • Portanto o lado direito com as forças de corpo pode ser escrito vetorialmente como \rho\mathbf{g}.

Passo 7

Reúna tudo componente a componente:
  • No lado esquerdo de cada equação escalar temos \rho multiplicando \frac{\partial}{\partial t} da componente e o termo convectivo daquela componente. Em notação vetorial isso é exatamente
\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right).
  • No lado direito juntamos \rho\mathbf{g}, -\nabla p e \mu\nabla^{2}\mathbf{u}.
Portanto, agrupando as três equações escalares em uma única equação vetorial obtemos a forma compacta equivalente.

Passo 8

Interpretação final e comentário amigo:
  • A equação vetorial que acabamos de montar é a forma padrão de Navier–Stokes para um fluido newtoniano com viscosidade constante escrita sem simplificações adicionais (além de reunir componentes).
  • Está tudo mapeado: separar em componentes devolve exatamente as três equações dadas no enunciado. Você pode usar essa forma vetorial no gabarito ou em deduções mais curtas na prova — serve tanto para pensar quanto para calcular.

Resposta

\rho\left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}\right)=\rho\mathbf{g}-\nabla p+\mu\nabla^{2}\mathbf{u}

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