Simplifique as equaçŏes de Navier-Stokes e escreva a equação simplificada obtida no gabarito ( 9 pts).
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para simplificar as três equações escalares de Navier–Stokes fornecidas e “escrever a equação simplificada obtida no gabarito”. As equações dadas são (copiadas do enunciado):
Informações relevantes dadas (lista clara):
- As incógnitas são as componentes da velocidade
, , . -
é a densidade, é a pressão, é a viscosidade dinâmica. -
são as componentes de uma aceleração volumétrica (força por massa), p.ex. gravidade. - Queremos uma forma simplificada única que corresponda ao “gabarito” (presumivelmente a forma vetorial compacta).
Passo 2
Vamos traduzir essas três equações escalares em notação vetorial — isso é exatamente a “simplificação” que normalmente aparece em gabaritos: agrupar os três componentes numa única equação vetorial compacta. Antes de juntar, definimos as quantidades vetoriais básicas que vamos usar.
Definições:
- Defina o campo de velocidade vetorial
- Defina o operador nabla (vetor diferencial)
- Defina o campo de aceleração volumétrica (força por unidade de massa)
Passo 3
Explique o termo temporal e o termo convectivo em notação vetorial:
- A derivada temporal do vetor velocidade é
- O termo convectivo (também chamado de aceleração convectiva) é escrito em notação vetorial como
Agora vamos mostrar por quê essa expressão gera exatamente os termos escalares que aparecem nas equações: o produto escalar
é
. Aplicando isso a
obtém-se componente a componente:
- Componente
:
que é exatamente o termo convectivo da primeira equação.
- As componentes
e seguem da mesma forma e coincidem com os termos convectivos das segunda e terceira equações.
Passo 4
Explique o termo de gradiente de pressão:
- O gradiente de pressão é o vetor
- Nas equações escalares aparece
, , , ou seja, em notação vetorial é simplesmente .
Passo 5
Explique o termo viscoso com o Laplaciano:
- O Laplaciano escalar é
- O Laplaciano aplicado ao vetor velocidade é definido componente a componente:
- Assim, o termo viscoso
para a componente é simplesmente , e análogas para e . Como é fator comum, em notação vetorial o termo viscoso é .
Passo 6
Explique o termo das forças de corpo (body forces):
- As três componentes
, , formam o vetor . - Portanto o lado direito com as forças de corpo pode ser escrito vetorialmente como
.
Passo 7
Reúna tudo componente a componente:
- No lado esquerdo de cada equação escalar temos
multiplicando da componente e o termo convectivo daquela componente. Em notação vetorial isso é exatamente
- No lado direito juntamos
, e .
Portanto, agrupando as três equações escalares em uma única equação vetorial obtemos a forma compacta equivalente.
Passo 8
Interpretação final e comentário amigo:
- A equação vetorial que acabamos de montar é a forma padrão de Navier–Stokes para um fluido newtoniano com viscosidade constante escrita sem simplificações adicionais (além de reunir componentes).
- Está tudo mapeado: separar em componentes devolve exatamente as três equações dadas no enunciado. Você pode usar essa forma vetorial no gabarito ou em deduções mais curtas na prova — serve tanto para pensar quanto para calcular.