Simplifique a expressão S=(x^3-1)^4+4(x^3-1)^3+6(x^3-1)^2+4(x^3-1)+1.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa simplificar
S = (x^3 - 1)^4 ;+; 4,(x^3 - 1)^3 ;+; 6,(x^3 - 1)^2 ;+; 4,(x^3 - 1) ;+; 1
Conteúdo da matéria: Teorema do Binômio de Newton, em especial a expansão de . Vamos usar a fórmula do binômio e identificar qual é e nesse caso.

Passo 2

Teoria aplicada: a fórmula do binômio de Newton para expoente 4 é
(a + b)^4 = a^4 ;+; 4,a^3b ;+; 6,a^2b^2 ;+; 4,a b^3 ;+; b^4
Note que, se escolhermos (a + 1)^4 = a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1 , isso vira

Passo 3

Comparando com nossa expressão, vemos que
a^4 + 4a^3 + 6a^2 + 4a + 1 long<=ftrightarrow (x^3 - 1)^4 + 4(x^3 - 1)^3 + 6(x^3 - 1)^2 +4(x^3 - 1) +1
Ou seja, aqui S = (a + 1)^4 = l((x^3 - 1) + 1r)^4 e . Logo

Passo 4

Basta simplificar dentro do parêntese:
(x^3 - 1) + 1 = x^3
Então
S = (x^3)^4 = x^3 times 4 = x^12

Resposta

boxedx^12

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