Encontre o termo racional do desenvolvimento de
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente encontrar o termo racional em
Isso é um problema de Teorema Binomial e manipulação de radicais. Vamos usar o fato de que
e depois ver quais expoentes de 5 e de 2 ficam inteiros, pois só assim o termo fica racional.
Passo 2
Aplicando o Teorema Binomial com
o termo geral é
Passo 3
Para que
seja racional, precisamos que os expoentes de 5 e de 2 sejam inteiros:
Isso dá duas condições de divisibilidade:
-
deve ser múltiplo de 5, -
deve ser múltiplo de 3.
Passo 4
Vamos testar valores de
entre 0 e 8 que satisfaçam as duas condições:
- Se
, então . Beleza: e , ambos inteiros. - Outros candidatos (por ex.
etc.) não satisfazem simultaneamente as duas regras.
Logo, o único
que funciona é
.
Passo 5
Substituindo
em
Aqui usamos
.