Encontre o termo racional do desenvolvimento de (raiz[5]5+raiz[3]2)^8.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente encontrar o termo racional em
l(raiz[5]5 + raiz[3]2r)^8
Isso é um problema de Teorema Binomial e manipulação de radicais. Vamos usar o fato de que
(a+b)^n = sumk=0^n binomnk a^,n-k b^,k,
e depois ver quais expoentes de 5 e de 2 ficam inteiros, pois só assim o termo fica racional.

Passo 2

Aplicando o Teorema Binomial com
a = 5^1/5, b = 2^1/3, n = 8,
o termo geral é
Tk ;=; binom8k,l(5^1/5r)^8-k,l(2^1/3r)^k ;=; binom8k;5^8-k5;2^k3

Passo 3

Para que seja racional, precisamos que os expoentes de 5 e de 2 sejam inteiros:
Isso dá duas condições de divisibilidade:
  • deve ser múltiplo de 5,
  • deve ser múltiplo de 3.

Passo 4

Vamos testar valores de entre 0 e 8 que satisfaçam as duas condições:
  • Se , então . Beleza: e , ambos inteiros.
  • Outros candidatos (por ex. etc.) não satisfazem simultaneamente as duas regras.
Logo, o único que funciona é .

Passo 5

Substituindo T3 = binom83;5^8-35;2^33 = binom83;5^1;2^1 = 56 times 5 times 2 em
Aqui usamos .

Resposta

é o termo racional do desenvolvimento.

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