Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição conjunta de probabilidade
X 1 2 3
1 0,1 0,1 0
2 0,1 0,2 0,3
3 0,1 0,1 0
Determinar a função de probabilidade de X+Y e use-a para calcular E(X+Y);

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que X e Y têm uma distribuição conjunta dada por uma tabela e pede pra gente:
  1. descobrir a função de probabilidade de , ou seja ;
  2. usar essa função pra calcular .
    O assunto aqui é Variáveis Aleatórias Discretas, mais especificamente soma de variáveis e esperança. Vamos precisar da ideia de “somar todas as probabilidades em que vale um certo valor” (lei da probabilidade total) e da fórmula de esperança .

Passo 2

Primeiro a gente lista os valores possíveis de Z in 2,3,4,5,6 . Como e variam de 1 a 3, o menor somatório é e o maior é . Logo

Passo 3

Agora a teoria: para variável discreta a soma,
PZ(z) ;=; P(X+Y=z) ;=;sumx+y=z PX,Y(x,y)
Vamos calcular caso a caso:
  • Para PZ(2) = PX,Y(1,1) = 0,1 : só dá pra ter .

Passo 4

  • Para PZ(3) = PX,Y(1,2) + PX,Y(2,1) = 0,1 + 0,1 = 0,2 : as combinações são e .

Passo 5

  • Para PZ(4) = P(1,3)+P(2,2)+P(3,1) = 0 + 0,2 + 0,1 = 0,3 : temos , e .

Passo 6

  • Para PZ(5) = 0,3 + 0,1 = 0,4 : PZ(6)=0 e .
  • Para : só , mas .

Passo 7

Vamos conferir que bate 1 na soma e aí calcular a esperança:
sumz=2^6 PZ(z) =0,1+0,2+0,3+0,4+0 =1
A teoria da esperança diz
E(Z)=sumz z,PZ(z)
Então
E(X+Y) =2cdot0,1 + 3cdot0,2 + 4cdot0,3 + 5cdot0,4 + 6cdot0 =0,2 + 0,6 + 1,2 + 2,0 =4,0

Resposta

Função de probabilidade de PZ(2)=0,1,; PZ(3)=0,2,; PZ(4)=0,3,; PZ(5)=0,4,; PZ(6)=0 :
E(X+Y)=4,0
E

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