Resolva as equações abaixo:
\operatorname{cossec} x=2

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação trigonométrica
\operatorname{cossec} x = 2.
Informações relevantes dadas:
  • A incógnita é x (procura-se todas as soluções reais).
  • A função \operatorname{cossec} x aparece na equação com valor 2.
  • É preciso lembrar que \operatorname{cossec} x não está definida onde \sin x=0.

Passo 2

Converter a função para uma forma mais simples de manipular. Lembrando a definição da cossecante:
\operatorname{cossec} x = \frac{1}{\sin x}.
Substituindo na equação original obtemos, sempre cuidando para não dividir por zero:
\frac{1}{\sin x}=2.

Passo 3

Isolar \sin x. Invertendo a igualdade (novamente uma operação válida desde que \sin x\neq0):
\sin x = \frac{1}{2}.
Agora o problema virou: encontrar todos os x tais que \sin x=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Entender onde a função seno vale \tfrac{1}{2}. No círculo trigonométrico, a relação \sin \theta=\tfrac{1}{2} tem ângulo de referência
\theta=\frac{\pi}{6}
pois \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}. O seno é positivo nos quadrantes I e II, então as soluções básicas no intervalo [0,2\pi) são:
x=\frac{\pi}{6}\quad\text{(quadrante I)}
e
x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\quad\text{(quadrante II)}.

Passo 5

Incluir a periodicidade do seno para obter todas as soluções reais. A função \sin x tem período 2\pi, portanto as soluções gerais são obtidas somando 2k\pi com k\in\mathbb{Z} a cada solução básica. Assim:
x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
e
x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Verificação rápida (exemplo): para k=0,
\operatorname{cossec}\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sin(\pi/6)}=\frac{1}{1/2}=2,
e para x=\tfrac{5\pi}{6} também se obtém \operatorname{cossec}x=2. Além disso, essas soluções não coincidem com pontos onde \sin x=0, então não há problema de indefinição.

Resposta

x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}
x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\\ k\in\mathbb{Z}

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