Resolva as equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação trigonométrica
Informações relevantes dadas:
- A incógnita é
(procura-se todas as soluções reais). - A função
aparece na equação com valor . - É preciso lembrar que
não está definida onde .
Passo 2
Converter a função para uma forma mais simples de manipular. Lembrando a definição da cossecante:
Substituindo na equação original obtemos, sempre cuidando para não dividir por zero:
Passo 3
Isolar
. Invertendo a igualdade (novamente uma operação válida desde que
):
Agora o problema virou: encontrar todos os
tais que
.
Passo 4
Entender onde a função seno vale
. No círculo trigonométrico, a relação
tem ângulo de referência
pois
. O seno é positivo nos quadrantes I e II, então as soluções básicas no intervalo
são:
e
Passo 5
Incluir a periodicidade do seno para obter todas as soluções reais. A função
tem período
, portanto as soluções gerais são obtidas somando
com
a cada solução básica. Assim:
e
Passo 6
Verificação rápida (exemplo): para
,
e para
também se obtém
. Além disso, essas soluções não coincidem com pontos onde
, então não há problema de indefinição.