Simplifique a expressão.
e) \sqrt{81 x^{2}+81}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt{81 x^{2}+81}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão dentro da raiz é \;81x^{2}+81\;.
  • Não há restrição explícita sobre x; implicitamente estamos trabalhando com x real.
  • A tarefa é escrever a expressão de forma mais simples, usando identidades algébricas e propriedades de radicais.

Passo 2

Observação inicial útil: quando vejo dois termos que têm um fator comum, uma boa estratégia é fatorar esse fator para simplificar. Aqui os dois termos 81x^{2} e 81 têm o fator comum 81. Vamos fatorar 81 da soma dentro da raiz:
81x^{2}+81 = 81\,(x^{2}+1).

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade do radical que nos permite separar a raiz de um produto em produto de raízes, desde que os fatores sejam não negativos. A propriedade é:
\sqrt{A\cdot B} = \sqrt{A}\,\sqrt{B}\quad\text{quando }A\ge 0\text{ e }B\ge 0.
No nosso caso temos A=81 e B=x^{2}+1. Note que 81\ge 0 e x^{2}+1\ge 1>0 para todo x real, logo ambos são não negativos e a propriedade vale.

Passo 4

Aplicando a propriedade à expressão fatorada, obtemos:
\sqrt{81\,(x^{2}+1)} = \sqrt{81}\,\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 5

Calculamos \sqrt{81}. Como 81=9^{2}, temos
\sqrt{81}=9.
Portanto a expressão fica
9\,\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 6

Um esclarecimento importante (muito útil para a prova): não podemos simplificar \sqrt{x^{2}+1} substituindo por |x|+1 ou por |x|. A igualdade \sqrt{x^{2}}=|x| existe, mas aqui o interior é x^{2}+1, não apenas x^{2}, então não há simplificação adicional. Para comparar, veja:
\sqrt{81x^{2}} = \sqrt{81}\,\sqrt{x^{2}} = 9\,|x|,
que é diferente da nossa expressão porque lá não havia o +1 dentro da raiz.

Passo 7

Conclusão final e interpretação: a expressão original está definida para todo x real e simplifica-se diretamente para 9\sqrt{x^{2}+1}. Isso é mais compacto e é a forma pedida de simplificação.

Resposta

9\sqrt{x^{2}+1}

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