Simplifique a expressão.
e) \sqrt[3]{\sqrt{64 x^{6}}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\sqrt[3]{\sqrt{64 x^{6}}}.
Informações dadas e observações úteis sem resolver ainda:
\;64 é um número positivo; \;x^{6} é sempre não negativo para todo x\in\mathbb{R} (porque potência par); as raízes indicadas são as raízes principais (ou seja, o valor da raiz quadrada é não negativo). Não resolvemos nada neste passo, apenas listamos a expressão e essas observações.

Passo 2

Vamos simplificar a raiz interna primeiro. Usamos a propriedade de que, para números não negativos a e b,
\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}.
Aqui 64\ge0 e x^{6}\ge0, então podemos aplicar:
\sqrt{64 x^{6}}=\sqrt{64}\,\sqrt{x^{6}}.
Calcule \sqrt{64}:
\sqrt{64}=8.
Agora \sqrt{x^{6}}. Note que x^{6}=(x^{3})^{2}. Para qualquer número real y vale \sqrt{y^{2}}=\lvert y\rvert (porque a raiz quadrada retorna o valor não negativo). Aplicando isso com y=x^{3} obtemos
\sqrt{x^{6}}=\sqrt{(x^{3})^{2}}=\lvert x^{3}\rvert.
Portanto a raiz interna fica
\sqrt{64 x^{6}}=8\,\lvert x^{3}\rvert.

Passo 3

Agora aplicamos a raiz cúbica externa em 8\,\lvert x^{3}\rvert. Usamos que, para números não negativos, a raiz cúbica distribui sobre o produto:
\sqrt[3]{8\,\lvert x^{3}\rvert}=\sqrt[3]{8}\,\sqrt[3]{\lvert x^{3}\rvert}.
Calcule \sqrt[3]{8}:
\sqrt[3]{8}=2.
E observe que \lvert x^{3}\rvert=\lvert x\rvert^{3}, porque \lvert x^{3}\rvert=(\lvert x\rvert)^{3}. Assim
\sqrt[3]{\lvert x^{3}\rvert}=\sqrt[3]{\lvert x\rvert^{3}}=\lvert x\rvert,
já que a raiz cúbica de um cubo de um número não negativo devolve esse número não negativo. Juntando resultados:
\sqrt[3]{\sqrt{64 x^{6}}}=\sqrt[3]{8}\,\sqrt[3]{\lvert x^{3}\rvert}=2\,\lvert x\rvert.

Passo 4

Verificação rápida com um exemplo numérico para entender por que aparece valor absoluto: se x=-1, então x^{6}=1, \sqrt{64\cdot1}=8 e \sqrt[3]{8}=2. O resultado é 2, que coincide com 2\lvert -1\rvert=2, mas não com 2x=-2. Isso mostra que o sinal de x é perdido na raiz quadrada e por isso precisamos do valor absoluto ao final.

Resposta

2\lvert x\rvert

Exercícios relacionados