Simplifique a expressão:
\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x+1}+\frac{\cos x+1}{\operatorname{sen} x}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x+1}+\frac{\cos x+1}{\operatorname{sen} x}.
Informações/condições que vêm junto com a expressão (denominadores não podem ser zero):
  • \operatorname{sen} x \neq 0 (porque aparece em denominador).
  • \cos x+1 \neq 0, ou seja \cos x \neq -1 (porque aparece em denominador).

Passo 2

Vamos colocar as duas frações sobre um denominador comum. O denominador comum natural é \operatorname{sen} x(\cos x+1). Então escrevemos a soma como uma única fração:
\frac{\operatorname{sen} x}{\cos x+1}+\frac{\cos x+1}{\operatorname{sen} x} = \frac{\operatorname{sen} x\cdot\operatorname{sen} x+(\cos x+1)\cdot(\cos x+1)} {\operatorname{sen} x(\cos x+1)}.

Passo 3

No numerador temos soma de quadrados; escrevendo de forma explícita:
\operatorname{sen}^2 x+(\cos x+1)^2.
Vamos expandir (\cos x+1)^2:
(\cos x+1)^2=\cos^2 x+2\cos x+1.
Portanto o numerador fica
\operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x+2\cos x+1.

Passo 4

Usamos a identidade pitagórica fundamental da trigonometria: \operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x=1. Substituindo no numerador:
\operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x+2\cos x+1 = 1 + 2\cos x + 1 = 2+2\cos x.
Fatorando 2 obtemos
2(1+\cos x).

Passo 5

Substituindo de volta na fração obtida no Passo 2:
\frac{2(1+\cos x)}{\operatorname{sen} x(1+\cos x)}.
Como 1+\cos x\neq0 (vistos nos requisitos iniciais), podemos cancelar 1+\cos x no numerador e denominador, ficando
\frac{2}{\operatorname{sen} x}.

Passo 6

Conclusão e lembrete de domínio: a expressão simplifica para \dfrac{2}{\operatorname{sen} x}, desde que \operatorname{sen} x\neq0 e \cos x\neq-1. Essas condições já vinham do enunciado original (evitar divisões por zero).

Resposta

\frac{2}{\operatorname{sen} x}

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