Simplifique as expressões abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
.\n
Informações dadas/assumidas: é um inteiro não-negativo (ou seja,
), e
é o coeficiente binomial padrão. A tarefa é transformar essa notação combinatória numa forma mais simples e explícita.
Informações dadas/assumidas:
Passo 2
Vamos lembrar a definição algébrica do coeficiente binomial e o que é fatorial:\n
valendo para inteiros
. Aqui,
(lê-se “
fatorial”) significa
com a convenção
. Cada parte da fórmula tem um papel: o numerador conta permutações e o denominador remove a ordenação dentro do grupo escolhido.
Passo 3
Agora aplicamos a definição diretamente em
. Usando
e
, temos:
Simplificando o fator
obtemos
, então
Passo 4
Cancelamos o fator
entre numerador e denominador. Lembre que
, logo
Portanto, a forma simplificada é
.
Passo 5
Uma interpretação combinatória rápida (intuitiva) para reforçar: escolher
elementos de um conjunto com
elementos é equivalente a escolher qual 1 elemento ficará de fora. Há exatamente
escolhas possíveis para o elemento excluído, daí
. Exemplo concreto:
(se
).