Simplifique as expressões abaixo.
\binom{n+1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \binom{n+1}{n}.\n
Informações dadas/assumidas: \,n é um inteiro não-negativo (ou seja, n\ge 0), e \binom{\,\cdot\,}{\,\cdot\,} é o coeficiente binomial padrão. A tarefa é transformar essa notação combinatória numa forma mais simples e explícita.

Passo 2

Vamos lembrar a definição algébrica do coeficiente binomial e o que é fatorial:\n
\binom{a}{b} = \frac{a!}{b!\,(a-b)!},
valendo para inteiros a\ge b\ge 0. Aqui, a! (lê-se “ a fatorial”) significa
a! = a\cdot (a-1)\cdot (a-2)\cdots 2\cdot 1,
com a convenção \,0! = 1. Cada parte da fórmula tem um papel: o numerador conta permutações e o denominador remove a ordenação dentro do grupo escolhido.

Passo 3

Agora aplicamos a definição diretamente em \binom{n+1}{n}. Usando a=n+1 e b=n, temos:
\binom{n+1}{n} = \frac{(n+1)!}{n!\,(n+1-n)!}.
Simplificando o fator n+1-n obtemos 1, então
\binom{n+1}{n} = \frac{(n+1)!}{n!\,1!}.

Passo 4

Cancelamos o fator n! entre numerador e denominador. Lembre que (n+1)! = (n+1)\cdot n!, logo
\frac{(n+1)!}{n!\,1!} = \frac{(n+1)\cdot n!}{n!\cdot 1} = n+1.
Portanto, a forma simplificada é n+1.

Passo 5

Uma interpretação combinatória rápida (intuitiva) para reforçar: escolher n elementos de um conjunto com n+1 elementos é equivalente a escolher qual 1 elemento ficará de fora. Há exatamente n+1 escolhas possíveis para o elemento excluído, daí \binom{n+1}{n}=n+1. Exemplo concreto: \binom{4}{3}=4 (se n=3).

Resposta

n+1

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