Quantos números de 5 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
O número é ímpar com todos os dígitos distintos.

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos números de 5 dígitos podemos formar, sendo o número ímpar e com todos os dígitos distintos?”\n
Informações importantes dadas pelo enunciado:\n
  • Os dígitos disponíveis são os de 0 a 9.\n
  • Um número de 5 dígitos tem a forma: primeiro dígito (não pode ser zero) seguido de mais quatro dígitos.\n
  • O número é ímpar, ou seja, o dígito das unidades (último dígito) deve ser um dos dígitos 1,3,5,7,9.\n
  • Todos os dígitos do número são distintos (nenhum dígito se repete).\n
    Não vamos resolver nada ainda; apenas listei o que é pedido e as condições que temos.

Passo 2

Princípio de contagem que vamos usar (regra do produto): se uma tarefa pode ser decomposta em etapas sequenciais e a etapa 1 tem a opções, depois a etapa 2 tem b opções (independente da escolha anterior exceto pela restrição de distintidade) e assim por diante, o número total de resultados possíveis é o produto das opções de cada etapa:
\text{total} = a\cdot b\cdot \cdots
Vou aplicar isso escolhendo os dígitos em etapas: primeiro o dígito das unidades (para garantir imparidade), depois o primeiro dígito (garantir que não seja zero), e por fim os três dígitos do meio, um a um.

Passo 3

Escolha do dígito das unidades (último dígito): como o número é ímpar, o último dígito deve ser um dos 1,3,5,7,9. Portanto há
5
opções para o dígito das unidades.

Passo 4

Escolha do primeiro dígito (o da casa das dezenas de milhar): ele não pode ser zero e também não pode ser igual ao dígito das unidades já escolhido. Os dígitos possíveis para o primeiro dígito são 1,2,\dots,9 menos o dígito já usado nas unidades. Como havia 9 dígitos não nulos e um deles foi usado nas unidades, restam
9-1=8
opções para o primeiro dígito.

Passo 5

Escolha dos três dígitos do meio (casas das milhares, centenas e dezenas), um a um: após escolher o último e o primeiro dígitos já usamos 2 dígitos distintos, sobrando 10-2=8 dígitos disponíveis (agora o zero já pode ser usado nessas posições). Para preencher as três posições, como não pode haver repetição, fazemos escolhas sequenciais com decrescimento de opções:
  • para a terceira posição (milhares): 8 opções;
  • para a quarta posição (centenas): 7 opções;
  • para a quinta posição (dezenas): 6 opções.\n
    Em termos de permutação, estamos escolhendo e ordenando 3 dígitos distintos dentre 8, portanto o número de maneiras é
P(8,3)=8\cdot7\cdot6=336.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto juntando todas as etapas: escolhas para unidades \times escolhas para primeiro dígito \times escolhas para os três dígitos do meio.
\text{total} = 5 \cdot 8 \cdot (8\cdot7\cdot6).
Calculemos passo a passo:
8\cdot7\cdot6=336,
8\cdot336=2688,
5\cdot2688=13440.

Passo 7

Interpretação final: existem \,13440, números de 5 dígitos que são ímpares e têm todos os dígitos distintos. (Exemplo de um número válido: 1\,0\,2\,4\,3 — é ímpar, tem cinco dígitos e todos os dígitos são diferentes.)

Resposta

\,13440\,

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