Quantos números de 5 dígitos podemos formar em cada caso abaixo?
O número é ímpar com todos os dígitos distintos.
O número é ímpar com todos os dígitos distintos.
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos números de 5 dígitos podemos formar, sendo o número ímpar e com todos os dígitos distintos?”\n
Informações importantes dadas pelo enunciado:\n
Informações importantes dadas pelo enunciado:\n
- Os dígitos disponíveis são os de
a .\n - Um número de 5 dígitos tem a forma: primeiro dígito (não pode ser zero) seguido de mais quatro dígitos.\n
- O número é ímpar, ou seja, o dígito das unidades (último dígito) deve ser um dos dígitos
.\n - Todos os dígitos do número são distintos (nenhum dígito se repete).\n
Não vamos resolver nada ainda; apenas listei o que é pedido e as condições que temos.
Passo 2
Princípio de contagem que vamos usar (regra do produto): se uma tarefa pode ser decomposta em etapas sequenciais e a etapa 1 tem
opções, depois a etapa 2 tem
opções (independente da escolha anterior exceto pela restrição de distintidade) e assim por diante, o número total de resultados possíveis é o produto das opções de cada etapa:
Vou aplicar isso escolhendo os dígitos em etapas: primeiro o dígito das unidades (para garantir imparidade), depois o primeiro dígito (garantir que não seja zero), e por fim os três dígitos do meio, um a um.
Passo 3
Escolha do dígito das unidades (último dígito): como o número é ímpar, o último dígito deve ser um dos
. Portanto há
opções para o dígito das unidades.
Passo 4
Escolha do primeiro dígito (o da casa das dezenas de milhar): ele não pode ser zero e também não pode ser igual ao dígito das unidades já escolhido. Os dígitos possíveis para o primeiro dígito são
menos o dígito já usado nas unidades. Como havia
dígitos não nulos e um deles foi usado nas unidades, restam
opções para o primeiro dígito.
Passo 5
Escolha dos três dígitos do meio (casas das milhares, centenas e dezenas), um a um: após escolher o último e o primeiro dígitos já usamos
dígitos distintos, sobrando
dígitos disponíveis (agora o zero já pode ser usado nessas posições). Para preencher as três posições, como não pode haver repetição, fazemos escolhas sequenciais com decrescimento de opções:
- para a terceira posição (milhares):
opções; - para a quarta posição (centenas):
opções; - para a quinta posição (dezenas):
opções.\n
Em termos de permutação, estamos escolhendo e ordenandodígitos distintos dentre , portanto o número de maneiras é
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto juntando todas as etapas: escolhas para unidades
escolhas para primeiro dígito
escolhas para os três dígitos do meio.
Calculemos passo a passo:
Passo 7
Interpretação final: existem
, números de 5 dígitos que são ímpares e têm todos os dígitos distintos. (Exemplo de um número válido:
— é ímpar, tem cinco dígitos e todos os dígitos são diferentes.)