Considere as funções f(x)=3^x e g(x)=(13)^x.
(a) Complete a tabela abaixo:
x f(x) g(x)
1
2
3
0
-1
-2
-3
12
-14
(b) g é a inversa de f ? Demonstre ou dê um contraexemplo.
(c) g(x)=[f(x)]^-1 ? Demonstre ou dê um contraexemplo.
(d) Utilizando os dados acima, esboce os gráficos de f e g no mesmo plano cartesiano. Se necessário encontre mais pontos do gráfico utilizando uma calculadora.
(e) Qual é o domínio maximal e a imagem da cada uma dessas funções?
(f) Essas funções são injetivas?

Passo 1

O enunciado trata de duas funções exponenciais
f(x)=3^x, g(x)=l(tfrac13r)^x,
e pede (a) calcular valores usando as regras de potência, (b) verificar se g é a inversa de f, (c) se g(x) é o recíproco de f(x), (d) esboçar os gráficos, (e) determinar domínio e imagem, (f) checar injetividade.

Passo 2

Para cada x calculamos
f(x)=3^x, g(x)=l(3^-1r)^x=3^-x
Assim:
x f(x)=3^x g(x)=3^-x
1 3 tfrac13
2 9 tfrac19
3 27 tfrac127
0 1 1
-1 tfrac13 3
-2 tfrac19 9
-3 tfrac127 27
tfrac12 raiz3 tfrac1raiz3
-tfrac14 3^-tfrac14=tfrac1raiz[4]3 3^tfrac14=raiz[4]3

Passo 3

Para ser inversa, precisaríamos gl(f(x)r)=x e fl(g(x)r)=x. Mas, por exemplo,
f(1)=3 Longrightarrow gl(f(1)r)=g(3)=3^-3=tfrac127neq1
Logo g não é inversa de f.

Passo 4

O recíproco de f(x) é
[f(x)]^-1=13^x=3^-x,
e como
g(x)=l(tfrac13r)^x=3^-x,
segue-se que
g(x)=[f(x)]^-1

Passo 5

  • f(x)=3^x é crescente, passa por (0,1), cresce rápido para x>0 e tende a 0 quando xto-infty.
  • g(x)=3^-x é decrescente, também passa por (0,1) e tende a +infty para xto-infty.
  • Note que g(x)=f(-x), logo o gráfico de g é o de f refletido no eixo y.
Basta esboçar ambas no mesmo plano, com assíntota y=0.

Passo 6

Tanto f quanto g estão definidas para todo xinR, logo o domínio maximal de cada uma é
Dom=R
Como 3^x>0 e 3^-x>0 para todo x, a imagem de cada é
Im=(0,infty)

Passo 7

  • f é estritamente crescente em R, logo é injetiva.
  • g é estritamente decrescente em R, logo também é injetiva.

Resposta

(a) Veja a tabela acima.
(b) Não, g não satisfaz g(f(x))=x (contraexemplo: g(f(1))=tfrac127neq1).
(c) Sim, g(x)=l[f(x)r]^-1 pois g(x)=3^-x=1/3^x.
(d) f é exponencial crescente, g é exponencial decrescente; g reflete f no eixo y.
(e) Dom(f)=Dom(g)=R, Im(f)=Im(g)=(0,infty).
(f) Ambas são injetivas (uma por ser crescente, outra por ser decrescente).

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