Considere as funções
e
.
(a) Complete a tabela abaixo:
(a) Complete a tabela abaixo:
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1 | ||
2 | ||
3 | ||
0 | ||
-1 | ||
-2 | ||
-3 | ||
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(b)
é a inversa de
? Demonstre ou dê um contraexemplo.
(c) ? Demonstre ou dê um contraexemplo.
(d) Utilizando os dados acima, esboce os gráficos de e
no mesmo plano cartesiano. Se necessário encontre mais pontos do gráfico utilizando uma calculadora.
(e) Qual é o domínio maximal e a imagem da cada uma dessas funções?
(f) Essas funções são injetivas?
(c)
(d) Utilizando os dados acima, esboce os gráficos de
(e) Qual é o domínio maximal e a imagem da cada uma dessas funções?
(f) Essas funções são injetivas?
Passo 1
O enunciado trata de duas funções exponenciais
e pede (a) calcular valores usando as regras de potência, (b) verificar se
é a inversa de
, (c) se
é o recíproco de
, (d) esboçar os gráficos, (e) determinar domínio e imagem, (f) checar injetividade.
Passo 2
Para cada
calculamos
Assim:
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Passo 3
Para ser inversa, precisaríamos
e
. Mas, por exemplo,
Logo
não é inversa de
.
Passo 4
O recíproco de
é
e como
segue-se que
Passo 5
-
é crescente, passa por , cresce rápido para e tende a quando . -
é decrescente, também passa por e tende a para . - Note que
, logo o gráfico de é o de refletido no eixo .
Basta esboçar ambas no mesmo plano, com assíntota
.
Passo 6
Tanto
quanto
estão definidas para todo
, logo o domínio maximal de cada uma é
Como
e
para todo
, a imagem de cada é
Passo 7
-
é estritamente crescente em , logo é injetiva. -
é estritamente decrescente em , logo também é injetiva.
Resposta
(a) Veja a tabela acima.
(b) Não, não satisfaz
(contraexemplo:
).
(c) Sim, pois
.
(d) é exponencial crescente,
é exponencial decrescente;
reflete
no eixo
.
(e) ,
.
(f) Ambas são injetivas (uma por ser crescente, outra por ser decrescente).
(b) Não,
(c) Sim,
(d)
(e)
(f) Ambas são injetivas (uma por ser crescente, outra por ser decrescente).