Dadas as funções
e
,
a) Defina
e
e seus domínios.
b) Calcule
e
.
a) Defina
b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá as duas funções abaixo e pede duas coisas:
- As funções dadas:
-
. -
.
-
- Perguntas:
- (a) Definir
e e indicar os seus domínios. - (b) Calcular
e .
- (a) Definir
Informações relevantes fornecidas: as expressões analíticas de
e
acima (não há outras restrições além das que surgem dos denominadores).
Passo 2
Entendendo composição e domínio (explicação didática e direta).
- Composição de funções: para duas funções
e , a composição (que vou escrever como ) significa aplicar primeiro em e depois aplicar ao resultado . - Regra de domínio para
: um pertence ao domínio de se e somente se: -
pertence ao domínio de (ou seja, está definido), e -
pertence ao domínio de (ou seja, pode ser avaliada em ).
-
- Notação e o que cada coisa significa:
-
é o conjunto de todos os para os quais está definido. -
é o conjunto de todos os para os quais está definido. - Então
.
-
- Aplicação direta às funções dadas:
-
está definido para todo (ou seja, ). -
está definido para todo tal que , isto é, (ou seja, ).
-
Passo 3
Definição de
(substituição direta) e determinação do domínio.
- Substituir
em :
- Agora o domínio: precisamos de
(isto é, ) e de (isto é, ). - A condição
é
- A condição
- Resolver
dá . Logo devemos excluir e . - Portanto o domínio de
é
- Comentário prático: a expressão final
também mostra imediatamente que o denominador não pode ser zero, o que leva à mesma exclusão de .
Passo 4
Definição de
(substituição) e determinação do domínio.
- Substituir
em :
- Domínio: para
precisamos que (já que é a função interna) e que . -
, então já temos que . -
, ou seja, aceita qualquer número real; portanto não há restrição extra além de .
-
- Conclusão: o domínio de
é
Passo 5
Cálculos numéricos pedidos em (b), com verificação de domínio.
- Calcular
: - Primeiro
. - Depois
. - Verificação rápida de domínio:
, então ; cálculo válido.
- Primeiro
- Calcular
: - Primeiro
. - Depois
. - Verificação de domínio:
, logo ; cálculo válido.
- Primeiro
Passo 6
Resumo final e dicas rápidas para a prova (curta e prática).
- Para composições, sempre pensar: “faço a função interna, aí testo se o resultado cabe na função externa” — isso vira automático com prática.
- Verifique sempre denominadores e raízes pares que possam criar números complexos (aqui só denominadores apareceram).
- Formas finais úteis para memorizar:
-
, . -
, .
-
Resposta
(a)
Domínio:
(a) Domínio:
(b)
(b)
(a)
(b)
(b)