Dadas as funções f(x)=\frac{1}{x-4} e g(x)=x^{2},
a) Defina f(g(x)) e g(f(x)) e seus domínios.
b) Calcule f(g(-3)) e g(f(7)).

Passo 1

O enunciado dá as duas funções abaixo e pede duas coisas:
  • As funções dadas:
    • f(x)=\dfrac{1}{x-4}.
    • g(x)=x^{2}.
  • Perguntas:
    1. (a) Definir f(g(x)) e g(f(x)) e indicar os seus domínios.
    2. (b) Calcular f(g(-3)) e g(f(7)).
Informações relevantes fornecidas: as expressões analíticas de f e g acima (não há outras restrições além das que surgem dos denominadores).

Passo 2

Entendendo composição e domínio (explicação didática e direta).
  • Composição de funções: para duas funções f e g, a composição f\circ g (que vou escrever como f(g(x))) significa aplicar primeiro g em x e depois aplicar f ao resultado g(x).
  • Regra de domínio para f(g(x)): um x pertence ao domínio de f(g(x)) se e somente se:
    1. x pertence ao domínio de g (ou seja, g(x) está definido), e
    2. g(x) pertence ao domínio de f (ou seja, f pode ser avaliada em g(x)).
  • Notação e o que cada coisa significa:
    • D_f é o conjunto de todos os x para os quais f(x) está definido.
    • D_g é o conjunto de todos os x para os quais g(x) está definido.
    • Então D_{f\circ g}=\{x\in D_g \mid g(x)\in D_f\}.
  • Aplicação direta às funções dadas:
    • g(x)=x^{2} está definido para todo x\in\mathbb{R} (ou seja, D_g=\mathbb{R}).
    • f(x)=\dfrac{1}{x-4} está definido para todo x tal que x-4\neq 0, isto é, x\neq 4 (ou seja, D_f=\mathbb{R}\setminus\{4\}).

Passo 3

Definição de f(g(x)) (substituição direta) e determinação do domínio.
  • Substituir g(x)=x^{2} em f:
f(g(x))=\frac{1}{\,g(x)-4\,}=\frac{1}{\,x^{2}-4\,}.
  • Agora o domínio: precisamos de x\in D_g (isto é, x\in\mathbb{R}) e de g(x)\in D_f (isto é, g(x)\neq 4).
    • A condição g(x)\neq 4 é
x^{2}\neq 4.
  • Resolver x^{2}=4 x=\pm 2. Logo devemos excluir x=2 e x=-2.
  • Portanto o domínio de f(g(x)) é
D_{f\circ g}=\mathbb{R}\setminus\{\,-2,\,2\,\}.
  • Comentário prático: a expressão final \dfrac{1}{x^{2}-4} também mostra imediatamente que o denominador não pode ser zero, o que leva à mesma exclusão de \pm 2.

Passo 4

Definição de g(f(x)) (substituição) e determinação do domínio.
  • Substituir f(x)=\dfrac{1}{x-4} em g:
g(f(x))=\bigl(f(x)\bigr)^{2}=\left(\frac{1}{x-4}\right)^{2}=\frac{1}{(x-4)^{2}}.
  • Domínio: para g(f(x)) precisamos que x\in D_f (já que f é a função interna) e que f(x)\in D_g.
    • D_f=\mathbb{R}\setminus\{4\}, então já temos que x\neq 4.
    • D_g=\mathbb{R}, ou seja, g aceita qualquer número real; portanto não há restrição extra além de x\neq 4.
  • Conclusão: o domínio de g(f(x)) é
D_{g\circ f}=\mathbb{R}\setminus\{4\}.

Passo 5

Cálculos numéricos pedidos em (b), com verificação de domínio.
  • Calcular f(g(-3)):
    • Primeiro g(-3)=(-3)^{2}=9.
    • Depois f(9)=\dfrac{1}{9-4}=\dfrac{1}{5}.
    • Verificação rápida de domínio: -3\neq\pm 2, então -3\in D_{f\circ g}; cálculo válido.
  • Calcular g(f(7)):
    • Primeiro f(7)=\dfrac{1}{7-4}=\dfrac{1}{3}.
    • Depois g\bigl(f(7)\bigr)=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}.
    • Verificação de domínio: 7\neq 4, logo 7\in D_{g\circ f}; cálculo válido.

Passo 6

Resumo final e dicas rápidas para a prova (curta e prática).
  • Para composições, sempre pensar: “faço a função interna, aí testo se o resultado cabe na função externa” — isso vira automático com prática.
  • Verifique sempre denominadores e raízes pares que possam criar números complexos (aqui só denominadores apareceram).
  • Formas finais úteis para memorizar:
    • f(g(x))=\dfrac{1}{x^{2}-4}, D_{f\circ g}=\mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\,\}.
    • g(f(x))=\dfrac{1}{(x-4)^{2}}, D_{g\circ f}=\mathbb{R}\setminus\{4\}.

Resposta

(a) f(g(x))=\dfrac{1}{x^{2}-4}, Domínio: \mathbb{R}\setminus\{\,-2,2\,\}.
(a) g(f(x))=\dfrac{1}{(x-4)^{2}}, Domínio: \mathbb{R}\setminus\{4\}.
(b) f(g(-3))=\dfrac{1}{5}.
(b) g(f(7))=\dfrac{1}{9}.

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