Simplifique as expressões racionais.
Passo 1
O enunciado pede para “simplificar” a expressão racional abaixo:
Informações relevantes dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Como o denominador não pode ser zero em uma fração, valores de
que anulam são pontos proibidos (isso é informação importante para a simplificação final).
Passo 2
Vamos olhar para o denominador
. Há uma identidade algébrica muito útil chamada diferença de quadrados:
Aqui podemos reconhecer
como uma diferença de quadrados com
e
. Aplicando a identidade:
Passo 3
Reescrevendo a fração usando a fatoração encontrada, temos
Passo 4
Agora observe que o fator
aparece tanto no numerador quanto no denominador. Quando uma mesma expressão aparece multiplicando no numerador e no denominador podemos simplificá‑la, desde que ela não seja zero (pois dividir por zero não é permitido). Cancelando esse fator comum:
mas lembrando a restrição: o cancelamento só é válido para
tal que
, ou seja
. Além disso, o denominador original exige
, o que dá
e
. Portanto a expressão simplificada representa a mesma função que a original apenas para
.
Passo 5
Vale a pena checar com um valor numérico simples que não é proibido, por exemplo
:
Os dois dão o mesmo resultado, como esperado para
permitido.
Passo 6
Observação final importante (para a prova): a forma mais curta
é o resultado da simplificação algébrica, mas nunca esqueça de anotar que a igualdade vale somente para
tais que o denominador original não seja zero, ou seja
e
. Essa verificação de domínio é essencial para não perder pontos.