Simplifique as expressões racionais.
\frac{x+1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para “simplificar” a expressão racional abaixo:
\frac{x+1}{x^{2}-1}.
Informações relevantes dadas:
  • O numerador é \,x+1.
  • O denominador é \,x^{2}-1.
  • Como o denominador não pode ser zero em uma fração, valores de x que anulam x^{2}-1 são pontos proibidos (isso é informação importante para a simplificação final).

Passo 2

Vamos olhar para o denominador \,x^{2}-1. Há uma identidade algébrica muito útil chamada diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui podemos reconhecer \,x^{2}-1 como uma diferença de quadrados com a=x e b=1. Aplicando a identidade:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 3

Reescrevendo a fração usando a fatoração encontrada, temos
\frac{x+1}{x^{2}-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}.

Passo 4

Agora observe que o fator \,x+1 aparece tanto no numerador quanto no denominador. Quando uma mesma expressão aparece multiplicando no numerador e no denominador podemos simplificá‑la, desde que ela não seja zero (pois dividir por zero não é permitido). Cancelando esse fator comum:
\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1},
mas lembrando a restrição: o cancelamento só é válido para x tal que x+1\neq0, ou seja x\neq-1. Além disso, o denominador original exige x^{2}-1\neq0, o que dá x\neq1 e x\neq-1. Portanto a expressão simplificada representa a mesma função que a original apenas para x\neq\pm1.

Passo 5

Vale a pena checar com um valor numérico simples que não é proibido, por exemplo x=2:
\text{Original: }\frac{2+1}{2^{2}-1}=\frac{3}{4-1}=\frac{3}{3}=1.
\text{Simplificada: }\frac{1}{2-1}=\frac{1}{1}=1.
Os dois dão o mesmo resultado, como esperado para x permitido.

Passo 6

Observação final importante (para a prova): a forma mais curta \dfrac{1}{x-1} é o resultado da simplificação algébrica, mas nunca esqueça de anotar que a igualdade vale somente para x tais que o denominador original não seja zero, ou seja x\neq1 e x\neq-1. Essa verificação de domínio é essencial para não perder pontos.

Resposta

\dfrac{1}{x-1},\; x\neq\pm1

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