Simplifique as expressões racionais.
\frac{x-2}{x^{2}-7 x+12}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional
\frac{x-2}{x^{2}-7x+12}.
Informações dadas:
  • O numerador é (x-2).
  • O denominador é (x^{2}-7x+12).
    Objetivo: escrever a expressão numa forma mais simples, fatorando e cancelando fatores comuns quando possível, e indicar as restrições no domínio (valores de x que tornam o denominador zero).

Passo 2

Fatorar o denominador x^{2}-7x+12. Vou lembrar um truque simples para quadráticas do tipo x^{2}+bx+c: se for possível fatorar em dois binômios com coeficiente 1, então
x^{2}+bx+c=(x+p)(x+q),
onde p e q devem satisfazer p+q=b e pq=c. Aqui temos b=-7 e c=12. Procuramos dois números p e q tais que
p+q=-7,\qquad pq=12.
Os números p=-3 e q=-4 funcionam porque (-3)+(-4)=-7 e (-3)\cdot(-4)=12. Portanto
x^{2}-7x+12=(x-3)(x-4).
(Dica rápida: outro método é usar fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes; neste caso as raízes seriam x=3 e x=4, levando à mesma fatoração.)

Passo 3

Reescrevendo a expressão com o denominador fatorado:
\frac{x-2}{x^{2}-7x+12}=\frac{x-2}{(x-3)(x-4)}.
Agora olhamos para fatores comuns entre numerador e denominador. Para poder cancelar, o mesmo fator (como x-a) precisa aparecer tanto no numerador quanto no denominador. Aqui o numerador é x-2 e o denominador tem os fatores x-3 e x-4. Não há nenhum fator em comum, então NÃO é possível cancelar nada. A expressão já está na forma mais simples possível em termos de cancelamento de fatores.

Passo 4

Mesmo não tendo cancelamento, é importante anotar as restrições do domínio: o denominador não pode ser zero. Então devemos excluir os valores que anulam (x-3)(x-4), ou seja
x\neq 3,\qquad x\neq 4.
Anotar essas restrições é obrigatório em simplificações de expressões racionais (caso contrário poderíamos, indevidamente, cancelar fatores que apagariam pontos que originalmente eram proibidos).

Passo 5

Resumo pedagógico (para a prova): quando simplificar uma expressão racional, faça nesta ordem:
  1. Fatore numerador e denominador totalmente (procure pares de números que somam e multiplicam corretamente no caso de quadráticas).
  2. Verifique fatores comuns e cancele somente fatores idênticos.
  3. Liste as exclusões do domínio (valores que zeram o denominador) mesmo se houver cancelamento — valores anulados originalmente continuam excluídos.
    Exemplo extra rápido: \dfrac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-4}=\dfrac{(x-2)(x-3)}{(x-2)(x+2)}. Aqui cancela-se (x-2) mas é preciso lembrar que x\neq 2 e x\neq -2.

Resposta

\dfrac{x-2}{(x-3)(x-4)},\quad x\neq 3,\;x\neq 4

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