Simplifique as expressões:
sen^2 2 x(1+cos 2 x)^2+1

Passo 1

A expressão que queremos simplificar é sin^2(2x)(1+cos(2x))^2+1. O conteúdo aqui é identidades trigonométricas, em especial as do ângulo duplo ( sin(2x), cos(2x)) e a identidade pitagórica sin^2theta+cos^2theta=1.

Passo 2

Juntamos tudo numa só fração para facilitar a simplificação:
$$
\frac{\sin2(2x)}{(1+\cos(2x))2}+1

\frac{\sin2(2x)+(1+\cos(2x))2}{(1+\cos(2x))^2}
$$

Passo 3

Simplificamos o numerador usando sin^2(2x)+cos^2(2x)=1:
sin^2(2x)+(1+cos(2x))^2 =sin^2(2x)+1+2cos(2x)+cos^2(2x) =(sin^2(2x)+cos^2(2x))+1+2cos(2x) =1+1+2cos(2x) =2(1+cos(2x))

Passo 4

Logo
sin^2(2x)+(1+cos(2x))^2(1+cos(2x))^2 =2(1+cos(2x))(1+cos(2x))^2 =21+cos(2x)

Passo 5

Por fim, usamos a identidade do cosseno de ângulo duplo
1+cos(2x)=2cos^2(x)

Passo 6

para obter
21+cos(2x)=22cos^2(x)=1cos^2(x)=sec^2(x)

Resposta

sec^2(x)

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