Simplifique as expressões, supondo \mathrm{a} \cdot \mathrm{b} \neq 0.
\frac{\left(a^{2} \cdot b^{3}\right)^{4} \cdot\left(a^{3} \cdot b^{4}\right)^{2}}{\left(a^{3} \cdot b^{2}\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a expressão abaixo e a condição \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq0. Pede para simplificar a expressão.
\frac{\left(a^{2}\cdot b^{3}\right)^{4}\cdot\left(a^{3}\cdot b^{4}\right)^{2}}{\left(a^{3}\cdot b^{2}\right)^{3}}
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão composta por potências de a e b.
  • A condição \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq0 (garante que não há divisão por zero).
  • Pedido: escrever a expressão na forma mais simples possível.

Passo 2

Vamos rever as regras de potências que vamos usar (explicação didática):
  • Regra do produto elevado a potência: \,(xy)^n = x^n y^n\,. Aqui x e y podem ser a e b, e n é um inteiro.
  • Regra da potência de potência: \,(x^m)^n = x^{mn}\,. Ou seja, multiplica-se os expoentes.
  • Regra do produto de potências com mesma base: \,x^p \cdot x^q = x^{p+q}\,.
  • Regra da divisão de potências com mesma base: \,\dfrac{x^r}{x^s} = x^{r-s}\, (válida quando x\neq0).
Exemplos rápidos (pra fixar):
  • (a^2 b^3)^4 = a^{2\cdot4} b^{3\cdot4} = a^8 b^{12}.
  • a^5\cdot a^2 = a^{5+2} = a^7.
  • \dfrac{a^7}{a^3} = a^{7-3} = a^4.

Passo 3

Aplicar a regra (xy)^n = x^n y^n e (x^m)^n = x^{mn} ao primeiro fator do numerador:
\left(a^{2}\cdot b^{3}\right)^{4} = (a^{2})^{4}\cdot (b^{3})^{4} = a^{2\cdot4}\cdot b^{3\cdot4} = a^{8}\cdot b^{12}.

Passo 4

Fazer o mesmo para o segundo fator do numerador:
\left(a^{3}\cdot b^{4}\right)^{2} = (a^{3})^{2}\cdot (b^{4})^{2} = a^{3\cdot2}\cdot b^{4\cdot2} = a^{6}\cdot b^{8}.

Passo 5

E para o denominador:
\left(a^{3}\cdot b^{2}\right)^{3} = (a^{3})^{3}\cdot (b^{2})^{3} = a^{3\cdot3}\cdot b^{2\cdot3} = a^{9}\cdot b^{6}.

Passo 6

Agora substituímos essas potências na expressão original; o numerador fica:
a^{8}b^{12}\cdot a^{6}b^{8}.
Usando \,x^p x^q = x^{p+q}\, para a e para b:
a^{8} \cdot a^{6} = a^{8+6} = a^{14}, \qquad b^{12}\cdot b^{8} = b^{12+8} = b^{20}.
Portanto o numerador simplificado é a^{14}b^{20}.

Passo 7

Agora dividimos pelo denominador a^{9}b^{6}. Usando \dfrac{x^r}{x^s}=x^{r-s}:
\frac{a^{14}b^{20}}{a^{9}b^{6}} = a^{14-9}\cdot b^{20-6} = a^{5}\cdot b^{14}.

Passo 8

Comentário final: a condição \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq0 garante que as operações de divisão por a^{9} e por b^{6} são válidas (não estamos dividindo por zero). Portanto a forma final é bem definida para todos a,b não nulos.

Resposta

a^{5}b^{14}

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