Simplifique as expressões, supondo \mathrm{a} \cdot \mathrm{b} \neq 0.
\left[\left(a^{3} \cdot b^{2}\right)^{2}\right]^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede: simplificar a expressão
\left[\left(a^{3} \cdot b^{2}\right)^{2}\right]^{3},
supondo \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq 0.
  • Informações relevantes: a expressão é composta por produtos e potências aninhadas; a condição \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq 0 garante que não há problemas com zeros (mas aqui não precisamos dividir).

Passo 2

Relembrando duas regras de potências que usaremos (explicadas de forma bem prática):
  • Regra 1 (potência de um produto): para quaisquer números/variáveis x, y e inteiro n,
(x\cdot y)^{n}=x^{n}\cdot y^{n}.
Isto significa que quando uma potência está sobre um produto, pode-se aplicar a potência a cada fator separadamente.
  • Regra 2 (potência de potência): para qualquer x e inteiros m,n,
\bigl(x^{m}\bigr)^{n}=x^{m\cdot n}.
Ou seja, ao elevar uma potência a outra potência, multiplica-se os expoentes.
Vou aplicar essas duas regras passo a passo ao problema.

Passo 3

Aplicar primeiro a potência interna: calculemos \left(a^{3}\cdot b^{2}\right)^{2}.
Usando a Regra 1 (x\cdot y)^{n}=x^{n}y^{n} com x=a^{3}, y=b^{2} e n=2, obtemos
\left(a^{3}\cdot b^{2}\right)^{2}=\left(a^{3}\right)^{2}\cdot\left(b^{2}\right)^{2}.
Agora aplicamos a Regra 2 \bigl(x^{m}\bigr)^{n}=x^{m\cdot n} a cada fator:
\left(a^{3}\right)^{2}=a^{3\cdot 2}=a^{6}, \qquad \left(b^{2}\right)^{2}=b^{2\cdot 2}=b^{4}.
Portanto
\left(a^{3}\cdot b^{2}\right)^{2}=a^{6}\cdot b^{4}.

Passo 4

Agora aplique a potência externa ^{3} sobre o resultado do Passo 3:
\left[\left(a^{3}\cdot b^{2}\right)^{2}\right]^{3}=\left(a^{6}\cdot b^{4}\right)^{3}.
De novo, pela Regra 1,
\left(a^{6}\cdot b^{4}\right)^{3}=\left(a^{6}\right)^{3}\cdot\left(b^{4}\right)^{3}.
E pela Regra 2,
\left(a^{6}\right)^{3}=a^{6\cdot 3}=a^{18}, \qquad \left(b^{4}\right)^{3}=b^{4\cdot 3}=b^{12}.
Portanto
\left(a^{6}\cdot b^{4}\right)^{3}=a^{18}\cdot b^{12}.

Passo 5

Observação alternativa (modo rápido que costuma aparecer na prova): pode-se multiplicar todos os expoentes “em cadeia”. O expoente final de a é 3 (inicial) multiplicado por 2 (primeira elevação) e por 3 (segunda elevação), isto é 3\cdot 2\cdot 3=18. Para b: 2\cdot 2\cdot 3=12. Resultado concordante com os passos anteriores.

Passo 6

Resumo didático final: aplicar passo a passo as regras
  • potência de produto para distribuir a potência,
  • potência de potência para multiplicar expoentes,
    permite simplificar sem erro.

Resposta

a^{18}\cdot b^{12}

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