Simplifique as expressões, supondo \mathrm{a} \cdot \mathrm{b} \neq 0.
\frac{\left(a^{5} \cdot b^{3}\right)^{2}}{\left(a^{-4} \cdot b\right)^{-3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão (supondo \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq 0):
\frac{\left(a^{5}\cdot b^{3}\right)^{2}}{\left(a^{-4}\cdot b\right)^{-3}}.
Informações dadas importantes:
  • A expressão envolve potências e um quociente.
  • Foi informado que \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq 0, ou seja, a\neq 0 e b\neq 0, então podemos usar regras que geram divisões por a ou b sem preocupação com divisão por zero.
  • O objetivo é escrever a expressão numa forma mais simples, com expoentes simplificados e, preferivelmente, sem expoentes negativos.

Passo 2

Regra que vou usar (explicação e exemplo simples): para qualquer números ou símbolos x,y e inteiro n vale
(xy)^{n}=x^{n}y^{n},
porque elevar um produto a uma potência significa multiplicar cada fator n vezes. Exemplo concreto: (2\cdot3)^{2}=6^{2}=36 e 2^{2}\cdot3^{2}=4\cdot9=36.
Aplicando essa regra ao numerador \left(a^{5}\cdot b^{3}\right)^{2}, cada fator recebe o expoente 2:
\left(a^{5}\cdot b^{3}\right)^{2}=a^{5\cdot 2}\cdot b^{3\cdot 2}=a^{10}\cdot b^{6}.

Passo 3

Regra sobre potência de potência: para qualquer x e inteiros m,n vale
\left(x^{m}\right)^{n}=x^{m\cdot n},
ou seja, multiplica-se os expoentes. Além disso, expoente negativo significa inverso: x^{-k}=\dfrac{1}{x^{k}}.
Aplicando essas ideias ao denominador \left(a^{-4}\cdot b\right)^{-3}, primeiro distribuo o expoente -3 aos fatores:
\left(a^{-4}\cdot b\right)^{-3}=a^{-4\cdot(-3)}\cdot b^{1\cdot(-3)}=a^{12}\cdot b^{-3}.
(Explicação das contas: (-4)\cdot(-3)=12 e 1\cdot(-3)=-3.)

Passo 4

Agora a expressão fica
\frac{a^{10}\cdot b^{6}}{a^{12}\cdot b^{-3}}.
Regra de divisão de potências com mesma base: para qualquer base x e expoentes m,n,
\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.
Aplico essa regra separadamente para as bases a e b:
  • Para a: a^{10}/a^{12}=a^{10-12}=a^{-2}.
  • Para b: b^{6}/b^{-3}=b^{6-(-3)}=b^{6+3}=b^{9}.
Portanto a expressão simplificada neste estágio é
a^{-2}\cdot b^{9}.

Passo 5

Interpretando o expoente negativo: a^{-2}=\dfrac{1}{a^{2}}. Assim podemos escrever a forma sem expoentes negativos como
\frac{b^{9}}{a^{2}}.
Lembrando que isso é válido porque a\neq 0.

Passo 6

Resumo rápido das regras usadas (para você lembrar na prova):
  • (xy)^{n}=x^{n}y^{n}.
  • \left(x^{m}\right)^{n}=x^{mn}.
  • x^{-n}=1/x^{n}.
  • \dfrac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.
    Com essas quatro regras dá para simplificar praticamente qualquer expressão com potências como esta. Vai dar tudo certo — respira fundo e pratica umas duas ou três vezes parecidas que a confiança sobe!

Resposta

\dfrac{b^{9}}{a^{2}}

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