Simplifique as expressões, supondo \mathrm{a} \cdot \mathrm{b} \neq 0.
\left(\frac{a^{4} \cdot b^{3}}{a^{2} \cdot b}\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão, supondo \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq 0. A expressão dada é
\left(\frac{a^{4}\cdot b^{3}}{a^{2}\cdot b}\right)^{5}.
Informações relevantes:
  • A expressão inteira deve ser simplificada.
  • A condição \mathrm{a}\cdot\mathrm{b}\neq 0 garante que não se está dividindo por zero.

Passo 2

Primeiro simplificamos o que está dentro dos parênteses. Podemos separar o quociente em fatores com a mesma base divididos:
\frac{a^{4}\cdot b^{3}}{a^{2}\cdot b}=\frac{a^{4}}{a^{2}}\cdot\frac{b^{3}}{b}.
Aqui usei a propriedade de que \dfrac{xy}{zw}=\dfrac{x}{z}\cdot\dfrac{y}{w} quando faz sentido separar os fatores.

Passo 3

Aplicamos a regra de potências para divisão de mesma base: para qualquer base x e inteiros m,n,
\frac{x^{m}}{x^{n}}=x^{m-n}.
Isso vale porque dividir potências de mesma base subtrai os expoentes. (Exemplo rápido: \dfrac{x^{5}}{x^{2}}=x^{5-2}=x^{3}.)

Passo 4

Aplicando essa regra aos fatores do passo anterior:
\frac{a^{4}}{a^{2}}=a^{4-2}=a^{2}, \qquad \frac{b^{3}}{b}=b^{3-1}=b^{2}.
Portanto o interior dos parênteses fica
\frac{a^{4}\cdot b^{3}}{a^{2}\cdot b}=a^{2}\,b^{2}.

Passo 5

Agora elevamos o resultado à quinta potência:
\left(a^{2}b^{2}\right)^{5}.
Usamos duas propriedades: (xy)^{n}=x^{n}y^{n} e (x^{m})^{n}=x^{mn}. Essas regras dizem, respectivamente, que uma potência de um produto é o produto das potências, e que potência de potência multiplica os expoentes.

Passo 6

Aplicando as propriedades:
\left(a^{2}b^{2}\right)^{5}=(a^{2})^{5}\,(b^{2})^{5}=a^{2\cdot 5}\,b^{2\cdot 5}=a^{10}\,b^{10}.

Passo 7

Opcionalmente, reconhece-se que a^{10}b^{10}=(ab)^{10}, pois (ab)^{10}=a^{10}b^{10} pela mesma propriedade (xy)^{n}=x^{n}y^{n}.

Resposta

\,a^{10}b^{10}

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