Simplifique as expressões:
tan (pi4-x)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a derivada da função
f(x)=tanl(tfracpi4-xr)
O conteúdo principal aqui é derivada de função composta e uso da regra da cadeia, além de identidades trigonométricas para simplificar.

Passo 2

Chamando
u(x)=tfracpi4-x,
temos f(x)=tanl(u(x)r). Pela regra da cadeia,
f'(x)=sec^2l(u(x)r),cdot u'(x)

Passo 3

Como u'(x)=ddx(tfracpi4-x)=-1, vem
f'(x)=-sec^2l(tfracpi4-xr)

Passo 4

Se quisermos expressar isso somente em função de x, usamos a identidade
tanl(tfracpi4-xr)=1-tan x1+tan x Longrightarrow sec^2l(tfracpi4-xr) =1+tan^2l(tfracpi4-xr) =2,(1+tan^2x)(1+tan x)^2 =2sec^2x(1+tan x)^2
Logo, uma forma equivalente é
f'(x)=-2sec^2xl(1+tan xr)^2

Resposta

f'(x)=-sec^2!l(tfracpi4-xr) (equiva<=ntemente ;-tfrac2sec^2x(1+tan x)^2)

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