Simplifique as expressões trigonométricas:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
.
Informações dadas: a única expressão é . Não há valores numéricos nem restrições adicionais sobre
.
Informações dadas: a única expressão é
Passo 2
Primeiro, ajeitamos a notação para ficar clara. Em português costuma-se escrever
, que é o mesmo que
em LaTeX. Além disso, por convenção,
significa
. Ou seja, estamos subtraindo o quadrado do seno de
de
.
Passo 3
Precisamos de uma identidade trigonométrica básica — a identidade pitagórica. Ela diz que, para todo número real
,
Explicação rápida dessa identidade: no círculo trigonométrico (raio
), as coordenadas do ponto correspondente ao ângulo
são
. Pelo Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dessas coordenadas é
, daí
.
Passo 4
Agora fazemos uma simples manipulação algébrica da identidade pitagórica: subtraindo
de ambos os lados obtemos
Como
, podemos substituir e concluir que
Passo 5
Verificação numérica rápida (exemplos) para sentir que faz sentido:
- Se
: , então . E . OK. - Se
: , então . E . OK. - Se
: , então . E . OK.
Passo 6
Observação importante para a prova: a igualdade é com o quadrado de cosseno. Não se confunda e escreva apenas
; só se tirar raiz é que aparece
, pois
Mas a simplificação pedida normalmente é a forma com quadrado:
.