Simplifique as expressões trigonométricas:
1-\operatorname{sen}^{2} x

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \,1-\operatorname{sen}^{2} x\,.
Informações dadas: a única expressão é \,1-\operatorname{sen}^{2} x\,. Não há valores numéricos nem restrições adicionais sobre x.

Passo 2

Primeiro, ajeitamos a notação para ficar clara. Em português costuma-se escrever \operatorname{sen}x, que é o mesmo que \sin x em LaTeX. Além disso, por convenção,
\operatorname{sen}^{2}x
significa (\operatorname{sen}x)^{2}=(\sin x)^{2}. Ou seja, estamos subtraindo o quadrado do seno de x de 1.

Passo 3

Precisamos de uma identidade trigonométrica básica — a identidade pitagórica. Ela diz que, para todo número real x,
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
Explicação rápida dessa identidade: no círculo trigonométrico (raio 1), as coordenadas do ponto correspondente ao ângulo x são (\cos x,\sin x). Pelo Teorema de Pitágoras, a soma dos quadrados dessas coordenadas é 1^{2}=1, daí \cos^{2}x+\sin^{2}x=1.

Passo 4

Agora fazemos uma simples manipulação algébrica da identidade pitagórica: subtraindo \sin^{2}x de ambos os lados obtemos
1-\sin^{2}x=\cos^{2}x.
Como \operatorname{sen}^{2}x=(\sin x)^{2}, podemos substituir e concluir que
1-\operatorname{sen}^{2}x=\cos^{2}x.

Passo 5

Verificação numérica rápida (exemplos) para sentir que faz sentido:
  • Se x=0: \operatorname{sen}0=0, então 1-\operatorname{sen}^{2}0=1-0=1. E \cos^{2}0=(1)^{2}=1. OK.
  • Se x=\tfrac{\pi}{4}: \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, então 1-\operatorname{sen}^{2}\tfrac{\pi}{4}=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}. E \cos^{2}\tfrac{\pi}{4}=\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{2}. OK.
  • Se x=\tfrac{\pi}{2}: \operatorname{sen}\tfrac{\pi}{2}=1, então 1-\operatorname{sen}^{2}\tfrac{\pi}{2}=0. E \cos^{2}\tfrac{\pi}{2}=0. OK.

Passo 6

Observação importante para a prova: a igualdade é com o quadrado de cosseno. Não se confunda e escreva apenas \cos x; só se tirar raiz é que aparece |\cos x|, pois
\sqrt{1-\sin^{2}x}=|\cos x|.
Mas a simplificação pedida normalmente é a forma com quadrado: \cos^{2}x.

Resposta

\cos^{2}x

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