Simplifique as expressões:
(2 x+3)(x-4)-(x+1)(x-1)

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
(2x+3)(x-4)-(x+1)(x-1).
Informações dadas:
  • Há dois produtos de binômios: (2x+3)(x-4) e (x+1)(x-1).
  • Esses dois produtos estão subtraídos entre si: o primeiro menos o segundo.
    A tarefa é desenvolver (expandir) os produtos e reduzir a expressão a um polinômio na forma mais simples possível.

Passo 2

Vamos expandir o primeiro produto (2x+3)(x-4). Para isso usamos a propriedade distributiva (também chamada de FOIL para binômios): multiplicar cada termo do primeiro parêntese por cada termo do segundo.
2x\cdot x = 2x^2
2x\cdot(-4) = -8x
3\cdot x = 3x
3\cdot(-4) = -12
Somando esses resultados obtemos a expansão completa:
(2x+3)(x-4)=2x^2-8x+3x-12.
Agora combinamos termos semelhantes (termos com a mesma potência de x). Aqui -8x e 3x são termos semelhantes:
-8x+3x=-5x.
Portanto o primeiro produto simplificado é
(2x+3)(x-4)=2x^2-5x-12.

Passo 3

Agora expandimos o segundo produto (x+1)(x-1) da mesma forma:
x\cdot x = x^2
x\cdot(-1) = -x
1\cdot x = x
1\cdot(-1) = -1
Somando:
(x+1)(x-1)=x^2 - x + x - 1.
Note que -x e +x se cancelam:
-x + x = 0.
Logo o segundo produto simplificado é
(x+1)(x-1)=x^2-1.

Passo 4

Agora substituímos as expansões na expressão original:
(2x+3)(x-4)-(x+1)(x-1) = (2x^2-5x-12) - (x^2-1).
Ao subtrair um polinômio, distribuímos o sinal negativo para todos os termos do segundo parêntese:
(2x^2-5x-12) - (x^2-1) = 2x^2-5x-12 - x^2 + 1.
Agora somamos termos semelhantes:
2x^2 - x^2 = x^2,
-5x\\ \text{permanece}\\ = -5x,
-12 + 1 = -11.
Portanto a expressão simplificada é
x^2 - 5x - 11.

Passo 5

Verificação rápida: testar um valor qualquer de x para checar coerência. Tomemos x=0.
Avaliar a expressão original em x=0:
(2\cdot 0+3)(0-4)-(0+1)(0-1)=3\cdot(-4)-1\cdot(-1)=-12-(-1)=-11.
Avaliar a expressão simplificada em x=0:
0^2-5\cdot 0-11 = -11.
Os resultados conferem, aumento a confiança de que a simplificação está correta.

Resposta

x^{2}-5x-11

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