Simplifique as expressões:
\frac{x^{2}-4 x+3}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão racional abaixo e indicar as informações relevantes que vêm do enunciado:
\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-1}.
Informações dadas:
  • O numerador é x^{2}-4x+3.
  • O denominador é x^{2}-1.
    O objetivo é reduzir (simplificar) a fração, isto é, fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns quando permitido. Não começar a resolver ainda; apenas listei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Fatorar o numerador x^{2}-4x+3. Vou explicar como factorar um quadrático desse tipo de forma prática:
  • Para um polinômio do tipo x^{2}+bx+c (aqui b=-4 e c=3), busca-se dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c.
  • Ou seja, dois números cuja soma seja -4 e produto seja 3.
Procurando tais números: -1 e -3 têm soma -4 e produto 3. Portanto o quadrático se fatoriza como produto de fatores lineares:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Explicando: multiplicando (x-1)(x-3) x^{2}-3x-x+3=x^{2}-4x+3, checando que está correto.

Passo 3

Fatorar o denominador x^{2}-1. Este é um caso clássico: diferença de quadrados. A identidade é
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui a=x e b=1, então
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Verificação rápida: (x-1)(x+1)=x^{2}+x-x-1=x^{2}-1.

Passo 4

Reescrever a fração usando as fatorações que encontramos. Substituindo numerador e denominador por seus fatores:
\frac{x^{2}-4x+3}{x^{2}-1}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+1)}.
Aqui ficou explícito o fator comum (x-1) no numerador e no denominador.

Passo 5

Explicar quando é permitido cancelar fatores: só se pode simplificar uma fração cancelando um fator comum quando esse fator é diferente de zero, porque divisão por zero não é definida. Assim, o cancelamento de (x-1) só é válido para valores de x tais que x-1\neq 0, isto é, x\neq 1.
Cancelando o fator comum (para x\neq 1) fica uma fração com fatores restantes no numerador e no denominador. Além disso, devemos lembrar que o denominador original impõe também x^{2}-1\neq 0, ou seja x\neq 1 e x\neq -1. Portanto a expressão original não está definida em x=1 nem em x=-1.

Passo 6

Resumo da conclusão (sem repetir a resposta final isoladamente nesta etapa): após fatorar e cancelar o fator comum (x-1) — lembrando que esse cancelamento é válido apenas quando x\neq 1 — obtém-se a forma reduzida da expressão, mantendo a observação de que os valores x=1 e x=-1 são excluídos do domínio da expressão original.

Resposta

\dfrac{x-3}{x+1}, com x\neq 1 e x\neq -1.

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