Simplifique as expressões:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão racional abaixo e indicar as informações relevantes que vêm do enunciado:
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
.
O objetivo é reduzir (simplificar) a fração, isto é, fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns quando permitido. Não começar a resolver ainda; apenas listei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Fatorar o numerador
. Vou explicar como factorar um quadrático desse tipo de forma prática:
- Para um polinômio do tipo
(aqui e ), busca-se dois números cuja soma seja e cujo produto seja . - Ou seja, dois números cuja soma seja
e produto seja .
Procurando tais números:
e
têm soma
e produto
. Portanto o quadrático se fatoriza como produto de fatores lineares:
Explicando: multiplicando
dá
, checando que está correto.
Passo 3
Fatorar o denominador
. Este é um caso clássico: diferença de quadrados. A identidade é
Aqui
e
, então
Verificação rápida:
.
Passo 4
Reescrever a fração usando as fatorações que encontramos. Substituindo numerador e denominador por seus fatores:
Aqui ficou explícito o fator comum
no numerador e no denominador.
Passo 5
Explicar quando é permitido cancelar fatores: só se pode simplificar uma fração cancelando um fator comum quando esse fator é diferente de zero, porque divisão por zero não é definida. Assim, o cancelamento de
só é válido para valores de
tais que
, isto é,
.
Cancelando o fator comum (para
) fica uma fração com fatores restantes no numerador e no denominador. Além disso, devemos lembrar que o denominador original impõe também
, ou seja
e
. Portanto a expressão original não está definida em
nem em
.
Passo 6
Resumo da conclusão (sem repetir a resposta final isoladamente nesta etapa): após fatorar e cancelar o fator comum
— lembrando que esse cancelamento é válido apenas quando
— obtém-se a forma reduzida da expressão, mantendo a observação de que os valores
e
são excluídos do domínio da expressão original.