Faça o esboço dos seguintes gráficos
g(x)=x^3x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o esboço do gráfico da função $ g(x) = \frac{x{3}}{x{2}+1} $. Vamos usar conceitos de cálculo e análise de funções para entender como esse gráfico se comporta. Para isso, vamos analisar pontos importantes como domínio, interceptos, derivadas para encontrar máximos ou mínimos, assíntotas e o comportamento geral da função.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Aqui, a função está definida para todo valor de $ x $ real, porque o denominador $ x^{2}+1 $ nunca é zero (já que $ x^{2} $ é sempre não negativo e adicionando 1 nunca dá zero). Então, o domínio é todos os números reais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos, ou seja, onde a função cruza os eixos $ x $ e $ y $.
  • Intercepto com o eixo $ y $: É quando $ x = 0 $.
    x
    Então, o intercepto com o eixo $ y $ é $ (0, 0) $.
  • Interceptos com o eixo $ x $: É quando $ g(x) = 0 $.
    y
    Então, o único intercepto com o eixo $ x $ também é $ (0, 0) $.

Passo 4

Vamos investigar o comportamento da função para $ x $ tendendo ao infinito positivo e negativo. Isso nos ajuda a entender como a função se comporta longe da origem.
  • Para $ x \to +\infty $:
    x
  • Para $ x \to -\infty $:
    x to +infty
Então, a função cresce sem limites tanto para $ x $ positivo quanto para $ x $ negativo.

Passo 5

Vamos calcular a primeira derivada para encontrar críticos (pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos).
g'(x) = ddx ( x^3x^2+1 ) = (3x^2)(x^2+1) - x^3(2x)(x^2+1)^2 = 3x^4 + 3x^2 - 2x^4(x^2+1)^2 = x^4 + 3x^2(x^2+1)^2
Igualando a zero para encontrar críticos:
x^4 + 3x^2 = 0 implies x^2(x^2 + 3) = 0 implies x = 0
Então, temos um crítico em $ x = 0 $.

Passo 6

Vamos analisar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo usando a segunda derivada.
Primeira derivada no ponto crítico $ x = 0 $:
x = 0
Segunda derivada:
g'(0) = 0^4 + 3 cdot 0^2(0^2+1)^2 = 0
Ficaria mais complexo calcular isso aqui, mas notamos que ao redor de $ x = 0 $, a função passa por um ponto de inflexão, já que a derivada muda de concavidade.

Passo 7

Não há assíntotas verticais pois o denominador nunca é zero. Também não há assíntotas horizontais, já que para $ x \to \pm\infty $, $ g(x) $ tende a $ \pm\infty $. Podemos concluir que não há assíntotas horizontais ou verticais.

Passo 8

Vamos resumir as informações:
  • Domínio: todos os reais.
  • Intercepto: $ (0, 0) $.
  • Crescimento: cresce para $ +\infty $ quando $ x \to +\infty $ e para $ -\infty $ quando $ x \to -\infty $.
  • Ponto de inflexão em $ x = 0 $.
  • Sem assíntotas.

Resposta

Com base na análise, o esboço do gráfico da função $ g(x) = \frac{x{3}}{x{2}+1} $ passa pela origem $ (0, 0) $, cresce de forma contínua para cima à medida que $ x $ aumenta positivamente e desce para baixo quando $ x $ aumenta negativamente. Não possui assíntotas e apresenta um ponto de inflexão na origem. O gráfico tem a forma de uma curva que atravessa o quarto e primeiro quadrantes, refletindo o comportamento cúbico moderado pelo denominador quadrático.

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