Simplifique e fatore o máximo possível as expressões abaixo.
16 x^5+16 x^3 y+4 x y^216 x^3+8 x^2 y

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e fatorar ao máximo a expressão 16x^5 + 16x^3y + 4xy^216x^3 + 8x^2y. Isso envolve fatoração de polinômios e simplificação de frações racionais.

Passo 2

No numerador, 16x^5 + 16x^3y + 4xy^2 tem como fator comum 4x. Assim:

Passo 3

No denominador, 16x^3 + 8x^2y tem fator comum 8x^2. Logo:
16x^3 + 8x^2y = 8x^2,(2x + y)

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração e simplificando o fator 4x com parte de 8x^2 temos:
4x,(4x^4 + 4x^2y + y^2)8x^2,(2x + y) = 4x8x^2cdot4x^4 + 4x^2y + y^22x + y = 12xcdot4x^4 + 4x^2y + y^22x + y

Passo 5

Observando que 4x^4 + 4x^2y + y^2 é um quadrado perfeito:
4x^4 + 4x^2y + y^2 = (2x^2 + y)^2,
chegamos à forma totalmente fatorada e simplificada.

Passo 6

Portanto, a expressão final fica como abaixo, sem possibilidade de cancelamento adicional.

Resposta

(2x^2 + y)^22x(2x + y)

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