Simplifique \frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x \neq a) para:
14) f(x)=\frac{1}{x^{2}} e a \neq 0

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o quociente de diferença \displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}
quando f(x)=\frac1{x^2} e a\neq0.
Isso é um exercício de manipulação algébrica de frações.

Passo 2

Escrevemos o quociente de forma explícita:
\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =\frac{\frac1{x^2}-\frac1{a^2}}{x-a}.

Passo 3

Colocamos as subtrações num único denominador:
\frac1{x^2}-\frac1{a^2} =\frac{a^2 - x^2}{x^2 a^2}.
Logo,
\frac{\frac1{x^2}-\frac1{a^2}}{x-a} =\frac{\frac{a^2 - x^2}{x^2 a^2}}{x-a} =\frac{a^2 - x^2}{x^2 a^2\, (x-a)}.

Passo 4

Observamos que a^2 - x^2 = -(x^2 - a^2) = -(x - a)(x + a). Substituindo e cancelando o fator (x-a), obtemos
\frac{a^2 - x^2}{x^2 a^2\,(x-a)} =-\frac{(x - a)(x + a)}{x^2 a^2\,(x-a)} =-\frac{x + a}{x^2 a^2}.

Resposta

-\frac{x + a}{x^2 a^2}.

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