Simplifique \frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x \neq a) para:
02) f(x)=\frac{5 x^{2}+2}{x}

Passo 1

O enunciado pede simplificar o quociente
\frac{f(x)-f(a)}{x-a},\quad x\neq a,
onde a função é
f(x)=\frac{5x^{2}+2}{x}.
Para isso vamos reescrever f(x), calcular f(a), subtrair, fatorar e depois dividir por (x-a).

Passo 2

Reescrevemos f(x) na forma mais simples:
f(x)=\frac{5x^{2}+2}{x}=5x+\frac{2}{x}.

Passo 3

Analogamente,
f(a)=5a+\frac{2}{a}.

Passo 4

Formamos a diferença no numerador:
f(x)-f(a) =\Bigl(5x+\frac{2}{x}\Bigr)-\Bigl(5a+\frac{2}{a}\Bigr) =5(x-a)+2\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\Bigr).
Como
\frac{1}{x}-\frac{1}{a}=\frac{a-x}{ax}=-\frac{x-a}{ax},
temos
f(x)-f(a) =5(x-a)+2\Bigl(-\frac{x-a}{ax}\Bigr) =(x-a)\Bigl(5-\frac{2}{ax}\Bigr).

Passo 5

Agora dividimos por (x-a):
\frac{f(x)-f(a)}{x-a} =5-\frac{2}{ax}.

Resposta

5-\frac{2}{ax}.

Exercícios relacionados