Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde h \neq 0 para as funções dadas abaixo:
-2 x+4

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} com h \neq 0, onde a função dada é f(x)=-2x+4.
Informações fornecidas:
  • A função: f(x)=-2x+4.
  • A expressão a simplificar: \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Condição: h\neq 0.

Passo 2

Vamos calcular f(x+h) substituindo x por x+h na definição de f.
A definição é f(t)=-2t+4. Substituindo t=x+h obtemos:
f(x+h)=-2(x+h)+4.
Agora expandimos o produto -2(x+h):
f(x+h)=-2x-2h+4.

Passo 3

Agora formamos o numerador da diferença: f(x+h)-f(x).
Temos f(x+h)=-2x-2h+4 (peguei isso do passo anterior) e f(x)=-2x+4 (dado). Então:
f(x+h)-f(x)=(-2x-2h+4)-(-2x+4).
Distribuindo o sinal negativo no segundo parêntese:
f(x+h)-f(x)=-2x-2h+4+2x-4.

Passo 4

Simplificamos somando os termos semelhantes no numerador.
Os termos -2x e +2x se cancelam, e +4 e -4 também se cancelam. Portanto sobra apenas:
f(x+h)-f(x)=-2h.

Passo 5

Agora dividimos o numerador por h para obter a expressão pedida:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-2h}{h}.
Como h\neq 0, podemos cancelar h no numerador e denominador, ficando:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=-2.

Passo 6

Interpretação didática e dica para prova: para uma função afim f(x)=ax+b o quociente \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} sempre simplifica para a, porque os termos em x e os termos constantes se cancelam e sobra ah/h=a. Ou seja, o quociente de diferença para funções lineares retorna a inclinação (coeficiente angular) da reta. Isso é útil em provas porque evita contas desnecessárias: ao ver f(x)=ax+b já se pode escrever \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=a.
Força aí — você já resolveu um clássico: quociente de diferença de função linear!

Resposta

-2

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