Simplifique \frac{f(x+h)-f(x)}{h}(h \neq 0) sendo f(x) igual a
x^{2}+3 x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:\n
  • Pede para simplificar a expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} com h\neq 0.\n
  • Foi dada a função \,f(x)=x^{2}+3x\,.\n
  • Informação importante: h\neq 0 permite cancelar fatores h no numerador quando ocorrerem.

Passo 2

Calcular f(x+h). Substitui x+h na definição de f:
f(x+h)=(x+h)^{2}+3(x+h).
Agora expandir cada termo:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}, \qquad 3(x+h)=3x+3h.
Portanto
f(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h.

Passo 3

Montar o numerador f(x+h)-f(x). Lembra que f(x)=x^{2}+3x, então
f(x+h)-f(x)=\big(x^{2}+2xh+h^{2}+3x+3h\big)-\big(x^{2}+3x\big).
Cancelar os termos iguais x^{2} e 3x:
f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}+3h.

Passo 4

Fatorar h no numerador (todos os termos têm h como fator):
2xh+h^{2}+3h=h(2x+h+3).
Explicação didática: ao olhar para 2xh+h^{2}+3h, cada termo tem um fator h. Colocando h em evidência restam os coeficientes/expressões 2x, h e 3.

Passo 5

Dividir por h e simplificar aproveitando h\neq 0:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h(2x+h+3)}{h}=2x+h+3.
Cancelou-se h porque o enunciado afirma h\neq 0. Observação útil para prova: esse quociente ainda depende de h; se fosse pedir a derivada f'(x) usar-se-ia o limite \lim_{h\to 0}(2x+h+3)=2x+3.

Resposta

2x+h+3

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