Dê o domínio e esboce o gráfico.
f(x)=3 x

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=3x e pede duas coisas:
  • Dar o domínio da função.
  • Esboçar o gráfico da função (ou seja, descrever como desenhar a curva no plano cartesiano).
Informações fornecidas: a expressão algébrica f(x)=3x.

Passo 2

O que é “domínio”?
Domínio de uma função é o conjunto de valores de x para os quais a expressão da função está bem definida. Em outras palavras: todos os x que posso colocar na fórmula sem dar problema (divisão por zero, raiz de número negativo quando exige real, log de número não positivo etc.).

Passo 3

Analisando a expressão f(x)=3x: trata-se de um polinômio (grau 1), não há divisão, raiz nem logaritmo. Polinômios estão definidos para todo número real. Portanto todos os x\in\mathbb{R} são permitidos.
Conclusão do domínio: o domínio é \mathbb{R}.

Passo 4

Breve comentário sobre imagem (faixa de valores que f assume) — útil para o esboço: uma função linear com coeficiente angular não nulo envia todo \mathbb{R} em \mathbb{R}. Logo a imagem (ou contradomínio prático) também é \mathbb{R}.

Passo 5

Como é o gráfico? Vamos entender a forma geral. Uma função linear tem a forma \,f(x)=mx+b\,, onde:
  • m é o coeficiente angular (declive, slope) — indica quanto f(x) aumenta quando x aumenta de 1; geometricamente é a “inclinação” da reta.
  • b é o coeficiente linear (intercepto em y) — o ponto onde a reta cruza o eixo y, isto é f(0)=b.
No nosso caso \,m=3 e \,b=0.

Passo 6

Calcule alguns pontos para desenhar:
  • Para x=0: f(0)=3\cdot 0=0 → ponto (0,0).
  • Para x=1: f(1)=3\cdot 1=3 → ponto (1,3).
  • Para x=-1: f(-1)=3\cdot(-1)=-3 → ponto (-1,-3).
  • Para x=2: f(2)=6 → ponto (2,6).
  • Para x=-2: f(-2)=-6 → ponto (-2,-6).
Com dois pontos distintos bastam para traçar a reta; por exemplo use (0,0) e (1,3).

Passo 7

Interpretação geométrica do coeficiente angular m=3:
\frac{\Delta y}{\Delta x}=3
Isto significa que ao mover-se uma unidade para a direita ( \Delta x=1) sobe-se três unidades ( \Delta y=3). Então a reta é relativamente inclinada para cima (é crescente).

Passo 8

Como esboçar no papel (passo a passo prático):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque uma escala (mesma unidade nos dois eixos de preferência).
  2. Marque o ponto (0,0) (a origem).
  3. A partir da origem, marque o ponto (1,3) — uma unidade à direita e três para cima.
  4. Trace a reta que passa por esses dois pontos, estendendo em ambas as direções. Coloque setas nas extremidades para mostrar que a reta continua.
  5. Verifique um ponto negativo, por exemplo (-1,-3), para confirmar que a reta está correta.

Passo 9

Propriedades úteis para a prova:
  • A função é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}. A derivada é f'(x)=3, constante; isso confirma que a inclinação é sempre 3.
  • A função é estritamente crescente porque m>0.
  • Interceptos: intercepto em y é f(0)=0; intercepto em x é solução de 3x=0\Rightarrow x=0. Ambos no mesmo ponto (0,0).

Passo 10

Resumo prático: domínio e esboço são rápidos — domínio todo o conjunto dos reais e o gráfico é uma reta passando pela origem com inclinação 3. Vai dar certo na prova: marque dois pontos e trace a reta.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Esboço do gráfico: reta passando pela origem com coeficiente angular 3; por exemplo pontos (0,0),(1,3),(-1,-3) e a reta que os une.

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