Dê o domínio e esboce o gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Dar o domínio da função.
- Esboçar o gráfico da função (ou seja, descrever como desenhar a curva no plano cartesiano).
Informações fornecidas: a expressão algébrica
.
Passo 2
O que é “domínio”?
Domínio de uma função é o conjunto de valores de para os quais a expressão da função está bem definida. Em outras palavras: todos os
que posso colocar na fórmula sem dar problema (divisão por zero, raiz de número negativo quando exige real, log de número não positivo etc.).
Domínio de uma função é o conjunto de valores de
Passo 3
Analisando a expressão
: trata-se de um polinômio (grau 1), não há divisão, raiz nem logaritmo. Polinômios estão definidos para todo número real. Portanto todos os
são permitidos.
Conclusão do domínio: o domínio é
.
Passo 4
Breve comentário sobre imagem (faixa de valores que
assume) — útil para o esboço: uma função linear com coeficiente angular não nulo envia todo
em
. Logo a imagem (ou contradomínio prático) também é
.
Passo 5
Como é o gráfico? Vamos entender a forma geral. Uma função linear tem a forma
, onde:
-
é o coeficiente angular (declive, slope) — indica quanto aumenta quando aumenta de 1; geometricamente é a “inclinação” da reta. -
é o coeficiente linear (intercepto em ) — o ponto onde a reta cruza o eixo , isto é .
No nosso caso
e
.
Passo 6
Calcule alguns pontos para desenhar:
- Para
: → ponto . - Para
: → ponto . - Para
: → ponto . - Para
: → ponto . - Para
: → ponto .
Com dois pontos distintos bastam para traçar a reta; por exemplo use
e
.
Passo 7
Interpretação geométrica do coeficiente angular
:
Isto significa que ao mover-se uma unidade para a direita (
) sobe-se três unidades (
). Então a reta é relativamente inclinada para cima (é crescente).
Passo 8
Como esboçar no papel (passo a passo prático):
- Desenhe os eixos
e e marque uma escala (mesma unidade nos dois eixos de preferência). - Marque o ponto
(a origem). - A partir da origem, marque o ponto
— uma unidade à direita e três para cima. - Trace a reta que passa por esses dois pontos, estendendo em ambas as direções. Coloque setas nas extremidades para mostrar que a reta continua.
- Verifique um ponto negativo, por exemplo
, para confirmar que a reta está correta.
Passo 9
Propriedades úteis para a prova:
- A função é contínua e diferenciável em todo
. A derivada é , constante; isso confirma que a inclinação é sempre 3. - A função é estritamente crescente porque
. - Interceptos: intercepto em
é ; intercepto em é solução de . Ambos no mesmo ponto .
Passo 10
Resumo prático: domínio e esboço são rápidos — domínio todo o conjunto dos reais e o gráfico é uma reta passando pela origem com inclinação 3. Vai dar certo na prova: marque dois pontos e trace a reta.
Resposta
Domínio:
Esboço do gráfico: reta passando pela origem com coeficiente angular ; por exemplo pontos
e a reta que os une.
Esboço do gráfico: reta passando pela origem com coeficiente angular