Simplifique as frações algébricas:
\frac{3 x^{2}-17 x+20}{4 x^{2}-25 x+36}.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a fração algébrica \dfrac{3x^{2}-17x+20}{4x^{2}-25x+36}. Informações dadas e condições importantes:
  • Numerador: 3x^{2}-17x+20.
  • Denominador: 4x^{2}-25x+36.
  • Condição necessária: o denominador não pode ser zero, ou seja qualquer x que anule 4x^{2}-25x+36 está proibido no domínio da expressão original.

Passo 2

Vamos fatorar o numerador \,3x^{2}-17x+20. Método (passo a passo): usar a técnica “AC” (multiplicar a por c e encontrar dois números cuja soma é o coeficiente de x).
  • Identificar coeficientes: a=3, b=-17, c=20.
  • Calcular a\cdot c = 3\cdot20 = 60.
  • Procurar dois inteiros cuja soma seja b=-17 e produto seja 60. Esses números são -12 e -5 porque -12+(-5)=-17 e (-12)\cdot(-5)=60.
  • Reescrever o termo do meio usando esses dois números:
3x^{2}-17x+20 = 3x^{2}-12x-5x+20.
  • Agrupar em pares e fatorar cada par:
3x^{2}-12x-5x+20 = 3x(x-4)-5(x-4).
  • Colher o fator comum (x-4):
3x(x-4)-5(x-4)=(3x-5)(x-4).
Portanto o numerador fatorado é (3x-5)(x-4).

Passo 3

Agora fatorar o denominador \,4x^{2}-25x+36 usando o mesmo método AC.
  • Identificar coeficientes: a=4, b=-25, c=36.
  • Calcular a\cdot c = 4\cdot36 = 144.
  • Procurar dois inteiros cuja soma seja b=-25 e produto seja 144. Esses números são -9 e -16 porque -9+(-16)=-25 e (-9)\cdot(-16)=144.
  • Reescrever o termo do meio:
4x^{2}-25x+36 = 4x^{2}-9x-16x+36.
  • Agrupar e fatorar:
4x^{2}-9x-16x+36 = x(4x-9)-4(4x-9).
  • Colher o fator comum (4x-9):
x(4x-9)-4(4x-9)=(4x-9)(x-4).
Portanto o denominador fatorado é (4x-9)(x-4).

Passo 4

Agora escrevemos a fração com os fatores encontrados e simplificamos por fatores comuns:
\frac{3x^{2}-17x+20}{4x^{2}-25x+36} = \frac{(3x-5)(x-4)}{(4x-9)(x-4)}.
Há um fator comum (x-4) no numerador e no denominador, que pode ser cancelado desde que não estejamos avaliando a expressão em x que torne o denominador original zero. Assim, cancelando (x-4) obtemos a forma reduzida
\frac{3x-5}{4x-9},
com a ressalva sobre o domínio: os valores que anulam o denominador original 4x^{2}-25x+36 não pertencem ao domínio. Como 4x^{2}-25x+36=(4x-9)(x-4), os valores proibidos são x=\dfrac{9}{4} e x=4.

Resposta

\dfrac{3x-5}{4x-9},\quad x\neq 4,\\ x\neq \dfrac{9}{4}

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