Simplifique as frações algébricas:
\frac{\boldsymbol{x}^{2}+\mathbf{6} \boldsymbol{x}+\mathbf{5}}{\boldsymbol{x}^{2}-\mathbf{3} \boldsymbol{x}-\mathbf{4}}.

Passo 1

O enunciado dá a fração algébrica \dfrac{x^{2}+6x+5}{x^{2}-3x-4} e pede que ela seja simplificada.
Informações relevantes que temos:
  • Numerador: x^{2}+6x+5.
  • Denominador: x^{2}-3x-4.
    Pergunta feita: simplificar a fração algébrica (ou seja, fatorar numerador e denominador e cancelar fatores comuns, respeitando as restrições de existência).

Passo 2

Vamos lembrar um método prático para fatorar quadráticas com coeficiente principal 1. Para um polinômio \,x^{2}+bx+c, procuramos dois números r_1 e r_2 tais que
r_1+r_2=b\qquad\text{e}\qquad r_1\cdot r_2=c.
Se existir tal par, a fatoração é
x^{2}+bx+c=(x+r_1)(x+r_2).
Esse método funciona porque ao multiplicar (x+r_1)(x+r_2) obtém-se x^2+(r_1+r_2)x+r_1r_2.

Passo 3

Aplique isso ao numerador \,x^{2}+6x+5. Aqui b=6 e c=5. Precisamos de dois números que multiplicam para 5 e somam 6. Esses números são 1 e 5 porque
1\cdot5=5,\qquad 1+5=6.
Portanto
x^{2}+6x+5=(x+1)(x+5).

Passo 4

Agora fatoramos o denominador \,x^{2}-3x-4. Aqui b=-3 e c=-4. Buscamos dois números que multiplicam para -4 e somam -3. Esses números são -4 e 1, pois
(-4)\cdot 1=-4,\qquad (-4)+1=-3.
Logo
x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1).

Passo 5

Reescrevendo a fração com as fatorações encontradas:
\frac{x^{2}+6x+5}{x^{2}-3x-4}=\frac{(x+1)(x+5)}{(x-4)(x+1)}.
Observa-se o fator comum (x+1) no numerador e no denominador. Podemos cancelar esse fator desde que ele não seja zero. Cancelando:
\frac{(x+1)(x+5)}{(x-4)(x+1)}=\frac{x+5}{x-4}.

Passo 6

Sempre que cancelamos um fator que pode ser zero, devemos anotar as restrições de domínio da expressão original: o denominador original é zero quando x-4=0 ou x+1=0. Ou seja,
x\neq 4,\qquad x\neq -1.
Portanto a forma simplificada é válida para todos os x exceto x=4 e x=-1.

Resposta

\dfrac{x+5}{x-4},\; x\neq -1,4

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