Simplifique.
fracy^3+2 y^2-5y^3+2 y^2 cdot y^2-4y^3-8

Passo 1

O enunciado pede para simplificar o produto de duas expressões racionais em função de y. O conteúdo principal aqui é fatoração de polinômios (fator comum, diferença de quadrados e diferença de cubos) e cancelamento de fatores comuns.

Passo 2

Vamos fatorar cada polinômio envolvido:
  • Primeiro numerador y^3+2y^2-5: não tem raízes racionais (testando pm1,pm5 não zera), então fica irreduzível sobre Q.
  • Primeiro denominador y^3+2y^2: fator comum de grau 2,
y^3+2y^2 = y^2(y+2)
- Segundo numerador y^2-4: diferença de quadrados,
$$y^2-4 = (y-2)(y+2).
y^2-4 = (y-2)(y+2) çy^3-8 = (y-2)(y^2+2y+4).
$$

Passo 3

Reescrevendo o produto com essas fatorações e cancelando fatores comuns (desde que yneq -2 e yneq2):
y^3+2y^2-5y^2(y+2)cdot(y-2)(y+2)(y-2)(y^2+2y+4) = y^3+2y^2-5y^2cdot 1y^2+2y+4

Passo 4

A forma final simplificada é a multiplicação das frações restantes. Além disso, como não podemos dividir por zero, impomos yneq0, yneq-2 e yneq2.

Resposta

y^3+2y^2-5y^2,(y^2+2y+4), com yneq0,-2,2.

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