Simplifique e indique quando não fizerem sentido, justificando por que não fazem sentido:
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
onde
é o símbolo de Levi-Civita em três dimensões e
é um tensor de segunda ordem qualquer. Vamos usar a regra de soma de Einstein: índices repetidos (aqui
e
) são somados, enquanto
fica livre. Logo o resultado, se existir, será um objeto com um único índice livre
, ou seja, um vetor.
Passo 2
Pelo critério de soma de Einstein, contraímos
e
:
Isso define um vetor
. Não há contradição de índices e portanto a expressão faz sentido em
D.
Passo 3
Note que
é totalmente antissimétrico em
. Se a parte simétrica de
dominasse, a contração seria zero. De fato, escreva
onde
Como
(contrair antissimétrico com simétrico dá zero), resta
Passo 4
Multiplicando por
dentro da definição de
obtemos a forma mais direta:
Em componentes explícitas, por exemplo,
Passo 5
Conclusões:
- A expressão
existe e é um vetor . - Se
for simétrico ( ), então . - Se
tiver parte antissimétrica, dá o vetor dual a essa parte.
Resposta
que é um vetor cujas componentes são
Em particular, se
então
.