Simplifique e indique quando não fizerem sentido, justificando por que não fazem sentido:
varepsiloni j k ai j

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
varepsiloni j k,ai j
onde varepsiloni j k é o símbolo de Levi-Civita em três dimensões e ai j é um tensor de segunda ordem qualquer. Vamos usar a regra de soma de Einstein: índices repetidos (aqui i e j) são somados, enquanto k fica livre. Logo o resultado, se existir, será um objeto com um único índice livre k, ou seja, um vetor.

Passo 2

Pelo critério de soma de Einstein, contraímos i e j:
bk ;=;varepsiloni j k,ai j
Isso define um vetor bk. Não há contradição de índices e portanto a expressão faz sentido em 3 D.

Passo 3

Note que varepsiloni j k é totalmente antissimétrico em irightarrow j. Se a parte simétrica de ai j dominasse, a contração seria zero. De fato, escreva
ai j=Si j+Ai j,
onde
Si j=tfrac12l(ai j+aj ir), Ai j=tfrac12l(ai j-aj ir)
Como varepsiloni j kSi j=0 (contrair antissimétrico com simétrico dá zero), resta
bk =varepsiloni j k,Ai j =varepsiloni j k,ai j-aj i2

Passo 4

Multiplicando por 2 dentro da definição de Aij obtemos a forma mais direta:
bk =varepsiloni j k,ai j =varepsiloni j k,l(ai j-aj ir)/2 ;Longrightarrow; bk=varepsiloni j k,ai j
Em componentes explícitas, por exemplo,
b1=a23-a32, b2=a31-a13, b3=a12-a21

Passo 5

Conclusões:
  • A expressão varepsiloni j kai j existe e é um vetor bk.
  • Se ai j for simétrico ( ai j=aj i), então bk=0.
  • Se ai j tiver parte antissimétrica, bk dá o vetor dual a essa parte.

Resposta

boxedbk=varepsiloni j k,ai j,
que é um vetor cujas componentes são
b1=a23-a32,; b2=a31-a13,; b3=a12-a21
Em particular, se ai j=aj i então bk=0.

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